2022北京一六一中学高一下学期期中数学试卷及答案

这是一份2022北京一六一中学高一下学期期中数学试卷及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 值为（ ）
A. B. C. D.
2. 扇形半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ）
A. 2弧度B. 2π弧度C. 10弧度D. 2°
3. 若，且，则α＝（ ）
A. B. C. D.
4. 要得到函数的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位
C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位
5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，若，且，则的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 已知 ，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是
A. B. C. D.
9. 设，是两个不共线向量，则“与夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 设函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸相应的横线上．
11. 在平面直角坐标系xOy中，，若向量，则实数k＝______．
12. 若函数为偶函数，则常数的一个取值为________．
13. 函数，当x＝______时，f（x）的最大值为______．
14. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97）
15. 已知是平面上一点，，．
①若，则____；
②若，则的最大值为____．
三、解答题：本大题共6道题，共85分．请在答题卡的相应位置写出解答过程．
16. 已知，．
（1）求tan 2α的值；
（2）求的值．
17. 已知平面向量，，若，，．
（1）求的值；
（2）设，，求的值．
18. 已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间上的最值，并说明取得最值时对应的x值．
19. 在中，若
（1）求角的大小
（2）若，，求的面积．
20. 如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）设点D，E分别是AB、AC边上的点记AD＝x，DE＝y．若△ADE的面积总保持是△ABC面积的一半，求函数z＝xy的最小值．
21. 若实数x，y，m满足，则称x比y远离m．
（1）若0比sinx远离，求x的取值范围；
（2）已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与csx中远离0的值．
①求出f（x）的解析式；
②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明）
参考答案
一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求解
【详解】
故选：B
2. 扇形的半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ）
A 2弧度B. 2π弧度C. 10弧度D. 2°
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】，
，
解得（弧度），
故选：A
3. 若，且，则α＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数中特殊角的正切值求解.
【详解】，，
.
故选：C
4. 要得到函数的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象（ ）
A 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位
C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，即可求解.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标向左平移个单位，
可得函数.
故选：B.
5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，若，且，则的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件解三角不等式即可求解.
【详解】由，得或，,
由，得，，
综上所述，的终边位于第三象限.
故选：C.
6. 已知 ，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据均值不等式及余弦函数的有界性求出，求出即可求解.
【详解】因为，所以，
所以,
因此 ，
故选：A
7. 函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象可以求出周期，得到，根据图象过点可求，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.
【详解】由图象知，
所以，，
又图象过点，
所以，
故可取，
所以
令，
解得
所以函数的单调递增区间为
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.
8. 已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.
【详解】如下图所示：
点在边上，且，，
由余弦定理得，整理得，
，解得，，则，
由正弦定理得，所以，.
由余弦定理得，同理可得，
则.
故选：C.
【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
9. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根平面向量的数量积的运算公式和夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若，
可得，
因为，是两个不共线向量，所以，所以，
所以，所以，
又由，是两个不共线向量，可得，
即与的夹角为钝角，所以必要性成立；
由向量与的夹角为钝角，不妨设，
可得，此时，
所以与不垂直，即充分性不成立，
所以“与的夹角为钝角”是“”的必要不充分条件.
故选: B.
10. 设函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据题中条件，得到函数与直线有三个不同的交点，结合图像可得，，，进而可求出结果.
【详解】画出函数的图像如下，
因为函数恰有三个零点，
则函数与直线有三个不同的交点，
由图像可得，，关于直线对称，
则，，
因此.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数图像的应用，考查数形结合的方法研究函数的零点问题，属于常考题型.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸相应的横线上．
11. 在平面直角坐标系xOy中，，若向量，则实数k＝______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据向量垂直，利用数量积计算即可.
【详解】， ，
，即，解得.
故答案为：7
12. 若函数为偶函数，则常数的一个取值为________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数有，化简得对任意恒成立，所以有，取其中一个值即可得出答案.
【详解】解：因为函数为偶函数，则
所以
所以
等价于对任意恒成立，所以，
所以，所以常数的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
13. 函数，当x＝______时，f（x）的最大值为______．
【答案】 ①. ； ②. ##0.5
【解析】
【分析】由平方关系转化为的二次函数，结合二次函数知识可得最大值．
【详解】所以时，，此时．
故答案为：；．
14. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97）
【答案】95
【解析】
【分析】利用正弦定理计算，得出的面积，根据面积求出到的距离即可．
【详解】如图，
在中，，
由正弦定理得：，
，
，
到的距离（米）．
故答案为：95
15. 已知是平面上一点，，．
①若，则____；
②若，则的最大值为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】 由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点，
因为，所以，如图所示，
则，
（2）中，因为，
所以，
如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，
此时最大值为，所以最大值为．
点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
三、解答题：本大题共6道题，共85分．请在答题卡的相应位置写出解答过程．
16. 已知，．
（1）求tan 2α的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用三角函数的基本关系式求得，得到，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）得到，化简得到原式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，可得，
又因为，所以，可得，
又由.
【小问2详解】
解：由，，可得，
又由.
17. 已知平面向量，，若，，．
（1）求的值；
（2）设，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合模的数量积表示求解即可；
（2）结合（1）计算，，，再根据向量夹角公式计算即可.
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，解得.
【小问2详解】
解：因为，，
所以，，
，
所以.
18. 已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间上的最值，并说明取得最值时对应的x值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由周期公式求解；
（2）根据正弦型函数的单调性求单调区间；
（3）由求出，再根据正弦函数的图象与性质求解即可.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
由，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调增区间为，
单调递减区间为.
【小问3详解】
当时，，
所以，所以，
即，
当，即时，，
当，即时，.
19. 在中，若
（1）求角的大小
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，得到答案.
（2）根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.
【小问1详解】
由余弦定理得，化简得：，
，，故.
【小问2详解】
，故，，
.
20. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）设点D，E分别是AB、AC边上的点记AD＝x，DE＝y．若△ADE的面积总保持是△ABC面积的一半，求函数z＝xy的最小值．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理及正弦定理求解即可；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求出，代入z＝xy配方后求最值即可.
【小问1详解】
由余弦定理可得,
，再由正弦定理可得,
即，解得.
【小问2详解】
由题意，解得，
由余弦定理可得，
，，
当，即时，.
21. 若实数x，y，m满足，则称x比y远离m．
（1）若0比sinx远离，求x的取值范围；
（2）已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与csx中远离0的值．
①求出f（x）的解析式；
②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明）
【答案】（1）或，；
（2）①，②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出；
（2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点.
【小问1详解】
由新定义可得，，即，
解得，即 ,
由正弦函数的性质可得或，.
【小问2详解】
①若，当时，，上式成立，
此时，，当时，可化为，即或
，解得，
综上，时，；
②若，由①可知，.
.
函数图象如图，
函数的周期为，对称轴方程为或，
当或时，有最大值，即最大值点为或.