2023-2024学年北京市石景山区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市石景山区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−12的相反数是( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
2.以河岸边步行道的平面为基准，河面高−1.8m，河岸上地面高5m，则地面比河面高( )
A. 3.2mB. −3.2mC. 6.8mD. −6.8m
3.依据第三方平台统计数据，2022年12月至2023年5月，石景山区共有350人享受养老助餐服务(其中基本养老服务对象90人，其他老年人260人)，累计服务10534人次.其中，数字10534用科学记数法可表示为( )
A. 10.534×103B. 1.0534×104C. 1.0534×103D. 0.10534×105
4.如图，从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.将三角尺与直尺按如图所示摆放，若∠α的度数比∠β的度数的三倍多10∘，则∠α的度数是( )
A. 20∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 70∘
6.下列运算正确的是( )
A. 3a+2b=5abB. 2c2−c2=2
C. −2(a−b)=−2a+bD. x2y−4yx2=−3x2y
7.已知：如图O是直线AB上一点，OD和OE分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC=50∘，则∠AOD的度数是( )
A. 50∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘
8.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. ab>0B. a<−bC. a+2>0D. a−2b>0
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.对单项式“0.5a”可以解释为：一块橡皮0.5元，买了a块，共消费0.5a元.请你再对“0.5a”赋予一个实际意义______.
10.如图是一数值转换机的示意图，若输入x=−1，则输出的结果是______.
11.若3x2ym−3与−x2y5−3m是同类项，则m的值为______.
12.若x=2是关于x的一元一次方程2x−m=5的解，则m的值为______.
13.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在______(请在D，E，F中选择)处可使所用管道最短，理由是______.
14.如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积______平方米.(用含a和r的字母表示)
15.规定一种新运算：a⊕b=a+b−ab+1，例如：2⊕3=2+3−2×3+1=0.
(1)请计算：2⊕(−1)______.
(2)若−3⊕x=2，则x的值为______.
16.a是不为1的有理数.我们把11−a称为a的差倒数，如2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12，已知a1=−13，a2是a1的差倒数.a3是a2的差倒数.a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023=______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：−3+|−12|.
18.(本小题5分)
计算：−24×(18−13+14).
19.(本小题5分)
计算：−23+2×(−7)÷12.
20.(本小题5分)
本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
解方程：2x−0.30.5−x+
解：原方程可化为：20x−35−10x+43=1.…第①步
方程两边同时乘以15，去分母，得：3(20x−3)−5(10x+4)=15.…第②步
去括号，得：60x−9−50x+20=15.…第③步
移项，得：60x−50x=15+9−20.…第④步
合并同类项，得：10x=4.…第⑤步
系数化1，得：x=0.4.…第⑥步
所以x=0.4为原方程的解.
上述小亮的解题过程中
(1)第②步的依据是______；
(2)第______(填序号)步开始出现错误，请写出这一步正确的式子______.
21.(本小题5分)
解方程：5x+2=3x−18.
22.(本小题5分)
解方程：2x+12−x−13=1.
23.(本小题6分)
先化简，再求值：2(x2−2x−8)−(1−4x)，其中x=−2.
24.(本小题6分)
如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：
(1)画射线AB，交直线l于点C；
(2)画直线AD⊥l，垂足为D；
(3)在直线AD上画出点E，使DE=AD；
(4)连接CE；
(5)通过画图、测量：点A到直线l的距离d≈______cm(精确到0.1)；
图中有相等的线段(除DE=AD以外)或相等的角，写出你的发现：______.
25.(本小题6分)
列方程解应用题：
某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？
26.(本小题6分)
已知：线段AB=10，C为线段AB上的点，点D是BC的中点.
(1)如图，若AC=4，求CD的长.
根据题意，补全解题过程：
∵AB=10，AC=4，CB=AB−______，
∴CB=______.
∵点D是BC的中点，
∴CD=______CB=______.(理由：______)
(2)若AC=3CD，求AC的长.
27.(本小题7分)
已知：OA⊥OB，射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，OD平分∠BOC.(1)如图，若∠BOC=40∘，求∠AOD.
(2)若∠BOC=α(0∘<α<180∘)，直接写出∠AOD的度数.(用含a的式子表示)
28.(本小题7分)
对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP=kNP(k>0)，则称点P是“点M到点N的k倍分点”.
例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2=3，Q2Q3=6，则点Q1是点Q2到点Q3的13倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点.
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示−4，−2，2.
(1)点B是点A到点C的______倍分点，点 C是点B到点A的______倍分点；
(2)点B到点C的3倍分点表示的数是______；
(3)点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的相反数是12.
故选：A.
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数．据此解题即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：5−(−1.8)=5+1.8=6.8(m)，
即地面比河面高6.8m，
故选：C.
根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：10534=1.0534×104.
故选：B.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．
4.【答案】C
【解析】解：因为长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，
所以，左视图是四边形的几何体有3个；
故选：C.
四个几何体的左视图：长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，由此可确定答案．
本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得，∠α+∠β=90∘∠α=3∠β+10∘，
解得∠α=70∘∠β=20∘，
答：∠α的度数是70∘，
故选：D.
根据余角的性质即可得到结论．
本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、3a，2b不是同类项，不能合并，本选项错误不符合题意；
B、2c2−c2=c2，本选项错误，不符合题意；
C、−2(a−b)=−2a+2b，本选项错误，不符合题意；
D、x2y−4yx2=−3x2y，本选项正确，符合题意．
故选：D.
根据合并同类项法则一一判断即可．
本题考查整式是加减，解题的关键是掌握整式是加减法则．
7.【答案】C
【解析】解：∠AOC=180−∠BOC=130∘，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC=65∘，
故选：C.
先求∠AOC，因为OD平分∠AOC，可得∠AOD.
本题考查了角平分线，关键是掌握角平分线的性质．
8.【答案】B
【解析】解：由图可知，a<−2<0所以ab>0，a<−b，a+2<0，a−2b<0，
故选：B.
根据数轴上点的位置，先确定a、b对应点的数的正负，再逐个判断得结论．
此题考查了数轴，掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
9.【答案】练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，(答案不唯一)
【解析】解：练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，
故答案为：练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，(答案不唯一).
根据生活实际作答即可．
本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
10.【答案】3
【解析】解：若输入x=−1，
则(−1−2)2÷3=9÷3=3，
故答案为：3.
根据题意列式为(−1−2)2÷3，然后进行计算即可．
本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵3x2ym−3与−x2y5−3m是同类项，
∴m−3=5−3m，
解得m=2.
故答案为：2.
根据同类项的定义进行解题即可．
本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：把x=2代入方程得：4−m=5，
解得：m=−1，
故答案为：−1.
把x=2代入方程计算即可求出m的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13.【答案】E 两点之间线段最短
【解析】解：要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在E(请在D，E，F中选择)处可使所用管道最短，理由是两点之间线段最短．
故答案为：E；两点之间线段最短．
直接利用线段的性质分析得出答案．
此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．
14.【答案】(a2−πr2)
【解析】解：由图可得，
图中广场空地面积为(a2−πr2)平方米，
故答案为：(a2−πr2).
根据图可知：图中广场空地面积=正方形的面积-半径为r的圆的面积，然后代入字母计算即可．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
15.【答案】4 1
【解析】解：(1)由题意得：2⊕(−1)
=2+(−1)−2×(−1)+1
=2−1+2+1
=4，
故答案为：4；
(2)∵−3⊕x=2，
∴−3+x−(−3x)+1=2，
−3+x+3x+1=2，
x+3x=2+3−1，
4x=4，
x=1，
故答案为：1.
(1)按照定义的新运算进行计算，即可解答；
(2)根据定义的新运算可得−3+x−(−3x)+1=2，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
16.【答案】−13
【解析】解：∵a1=−13，
∴a2=11−(−13)=34，
a3=11−34=4，
a4=11−4=−13，
…，
由此可知：该数列是以−13，34，4这三个数循环，
∵2023÷3=674……1，
∴a2023=−13.
故答案为：−13.
根据题意中差倒数的定义分别计算出a2、a3、a4…，找出相应的数字变化规律，从而解答本题．
本题考查了数字的变化规律，理解题目所给出的运算，找出数字相应的变化规律是解本题的关键．
17.【答案】解：−3+|−12|
=−3+12
=9.
【解析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则进行解题即可．
本题考查有理数的加法和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18.【答案】解：−24×(18−13+14)
=−24×18−24×(−13)−24×14
=−3+8−6
=−1.
【解析】利用乘法的分配律进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：−23+2×(−7)÷12
=−8+2×(−7)×2
=−8−28
=−36.
【解析】先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】等式基本性质2 ③ 60x−9−50x−20=15
【解析】解：(1)等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
(2)③；60x−9−50x−20=15.
故答案为：③；60x−9−50x−20=15.
(1)根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
(2)依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
21.【答案】解：5x+2=3x−18，
移项，得5x−3x=−18−2，
合并同类项，得2x=−20，
系数化为1，得x=−10.
【解析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
22.【答案】解：去分母得：3(2x+1)−2(x−1)=6，
去括号得：6x+3−2x+2=6，
移项得：6x−2x=6−3−2，
合并得：4x=1，
系数化为1得：x=14.
【解析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1.
23.【答案】解：原式=(2x2−4x−16)−(1−4x)
=2x2−4x−16−1+4x
=2x2−17.
当x=−2时，原式=2×(−2)2−17=8−17=−9.
【解析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x的值代入计算即可．
本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
24.【答案】4.8CA=CE，∠ACD=∠ECD，∠CAD=∠CED，∠ADC=∠EDC
【解析】解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)如图所示．
(4)如图所示．
(5)点A到直线l的距离d≈4.8cm(以答题卡上实际测量距离为准).
图中相等的线段和相等的角有：CA=CE，∠ACD=∠ECD，∠CAD=∠CED，∠ADC=∠EDC.
故答案为：4.8；CA=CE，∠ACD=∠ECD，∠CAD=∠CED，∠ADC=∠EDC.
(1)根据射线的定义画图即可．
(2)根据垂线的作图方法作图即可．
(3)以点D为圆心，AD的长为半径画弧，交射线AD于点E.
(4)根据线段的定义画图即可．
(5)直接测量线段AD的长即可得答案；由题意可得，直线l为线段AE的垂直平分线，进而可得答案．
本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段、点到直线的距离，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
25.【答案】解：设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服(50−x)套，
根据题意得：180x+210(50−x)=9600，
解得：x=30，
∴50−x=50−30=20.
答：公司购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套．
【解析】设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服(50−x)套，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26.【答案】AC612 3 线段中点的定义
【解析】解：(1)补全解题过程如下：
∵AB=10，AC=4，CB=AB−AC，
∴CB=6，
∵点D是BC的中点，
∴CD=12CB=3(理由：线段中点的定义)；
故答案为：AC，6，12，3，线段中点的定义；
(2)∵点D是BC的中点，
∴CD=BD(线段中点的定义)，
∵AC=3CD，
∴设CD=BD=x，AC=3x，
∴AB=AC+CD+BD=10.
即3x+x+x=10.
解得，x=2.
∴AC=6.
(1)根据线段的和差和点的中点的定义即可得到结论；
(2)根据线段的和差和点的中点的定义即可得到结论．
本题考查了两点间的距离，线段中点的意义及线段的和差运算，难度较小．
27.【答案】解：(1)∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90∘，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12∠BOC，
∵∠BOC=40∘，
∴∠BOD=20∘，
∵∠AOD=∠AOB−∠BOD，
∴∠AOD=70∘；
(2)当OC在∠AOB的内部时，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90∘，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12∠BOC，
∵∠BOC=α，
∴∠BOD=12，
∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90∘−12α，
当OC在∠AOB的外部时，
同理得∠AOD=∠AOB+∠BOD=90∘+12α，
综上所述，∠AOD的度数为90∘−12α或90∘+12α.
【解析】(1)根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；
(2)根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论．
本题考查了角的计算，角平分线，余角的定义，解题的关键是掌握角的计算，角平分线的定义，余角的定义．
28.【答案】12 23 1或4
【解析】解：(1)∵点A，B，C分别表示−4，−2，2，
∴BA=−2−(−4)=2，BC=2−(−2)=4，CA=2−(−4)=6.
∵BABC=24=12，
∴点B是点A到点C的12倍分点，
∵CBCA=46=23，
∴点C是点B到点A的23倍分点．
故答案为：12，23；
(2)设这点为E，对应的数字为a，则EBEC=3，EB=|a−(−2)|=|a+2|，EC=|a−2|；
若点E在点B的左侧，明显不符合题意；
若点E在B，C之间，则EB=a+2，EC=2−a，
a+2=3(2−a)，
解得：a=1.
若点E在C点的右侧，则EB=a+2，EC=a−2，
a+2=3(a−2)，
解得：a=4.
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4.
故答案为：1或4.
(3)设线段BC上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y(−2≤y≤2)，则FA=4FD，
∵FA=|y−(−4)|=|y+4|=y+4，FD=|y−x|，
∴y+4=4|y−x|，
若y≥x，则y+4=4(y−x)，解得：y=4+4x3，
从而−2≤4+4x3≤2，解得：−52≤x≤12；
若y从而−2≤4x−45≤2，解得：−32≤x≤72；
综上，x的取值范围为：−52≤x≤72.
(1)通过计算BABC，CBCA的值，利用题干中的定义解答即可；
(2)设这点为E，对应的数字为a，则EBEC=3；利用数形结合的思想方法，进行分类讨论，分别列出方程求解即可；
(3)设线段BC上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y(−2≤y≤2)，则FA=4FD，然后列不等式求解x的取值范围．
本题考查的是数轴、两点间的距离等有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．