2023-2024学年上海市宝山区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市宝山区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在−1、x2、b+c、5a中，单项式的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.计算(−a)3⋅(−a)2的正确结果是( )
A. a5B. −a5C. a6D. −a6
3.下列算式中，可用完全平方公式计算的是( )
A. (1+x)(1−x)B. (−x−1)(−1+x)
C. (x−1)(1+x)D. (−x+1)(1−x)
4.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x+y)=x2+xyB. x2−2xy=x(x−2y)
C. 24=2×2×2×3D. x2+x+1=x(x+1)+1
5.如果将分式a+ba2+b2中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A. 缩小为原来的12B. 扩大为原来的4倍C. 扩大为原来的2倍D. 缩小为原来的14
6.如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个.( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.多项式23ab2+43a3b+13的次数是______.
8.用代数式表示“x与y的和的倒数”______.
9.计算：(2a3b)−2=______.
10.用科学记数法表示：−0.0000406=______.
11.已知单项式xn+1y3与13x3ym−1是同类项，那么m+n=______.
12.分解因式：x3−4x2+4x=______.
13.如果a10÷(ak)4=a2，那么k=______.
14.如果A÷2ab=1−4a2，那么多项式A等于______.
15.已知(a+b)2=m，(a−b)2=n，则ab=______.(用m、n的代数式表示)
16.如果关于x的二次三项式x2+kx+5可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k等于______.
17.在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为______.
18.如图，在三角形ABC中，∠A=40∘.如果将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形AB1C1，再将三角形AB1C1沿直线AB1翻折得到三角形AB1C2，如果点C2落在∠BAC内部，且∠CAC2=3∠BAC2，那么三角形ABC绕点A旋转得到三角形AB1C1的旋转方向和旋转角度数可以是______.
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
(x2−4)(x−2)(x+2)
20.(本小题4分)
分解因式：(a2+a)2+4(a2+a)−12.
21.(本小题4分)
分解因式：8ax−by+4ay−2bx.
22.(本小题4分)
解方程：3x−2−1=12−x.
23.(本小题4分)
先化简：(x2−4x2−x−6+x+2x−3)÷x+1x−3，再从3、1、−1、−2中选取合适的x代入求值.
24.(本小题6分)
在一组数a1，a2，a3，…an，an+1，…中，a1=x，an+1=1−1an(n为正整数)，
(1)用含x的代数式表示：a2，a3，a4，并写出x的取值范围.
(2)当x=2023，求a2024的值.
25.(本小题6分)
小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶.求这种牛奶原价每瓶是几元？
26.(本小题6分)
如图，在正方形网格中有三角形ABC.
(1)将三角形ABC进行平移，使得点A的对应点为点A1(如图所示)，画出三角形A1B1C1；
(2)画出(1)中三角形A1B1C1关于B1C1中点成中心对称的图形，所画图形需用实线画出.
27.(本小题6分)
长方形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，E、F分别在BC、CD边上，CE=CF=xcm，连接AE、EF、AF.
(1)用关于x的代数式表示四边形AECF的面积；
(2)如果三角形ABE与三角形ADF的面积之和等于20cm2，求三角形AEF的面积.
28.(本小题8分)
长方形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，对角线AC=5cm.
(1)如图1，将长方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转90∘到长方形AFGH的位置，画出点C扫过的图形，并求线段AC扫过的图形面积.(结果保留π)
(2)在图1中，将长方形AFGH先向右平移x cm，再向下平移，得到长方形EFGH(见图2)，如果AB交GH于点M，AD交HE于点N，四边形AMHN是正方形.分别联结BG、DE，得到六边形BCDEFG，求这个六边形的面积S(用x的代数式表示)，并写出x的取值范围.
(3)在第(2)小题中，记S△MBG=S1，S正方形MHNA=S2，S△NDE=S3，如果六边形BCDEFG的面积等于长方形ABCD面积的两倍，求S1、S2、S3之间存在什么数量关系？并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−1，x2都是单项式，b+c是多项式，5a不是整式，
∴单项式共有2个，
故选：B.
根据单项式是数字与字母的积，单独的数字和字母也是单项式，对各个式子进行判断即可．
本题主要考查了单项式，解题关键是熟练掌握单项式的定义．
2.【答案】B
【解析】解：原式=(−a)3+2=(−a)5=−a5.
故选：B.
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行运算即可．
此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题需要熟练掌握同底数幂的运算法则．
3.【答案】D
【解析】解：∵(1+x)(1−x)符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴A选项不符合题意；
∵(−x−1)(−1+x)=(−1−x)(−1+x)，
∴B选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴B选项不符合题意；
∵(x−1)(1+x)=(x−1)(x+1)，
∴C选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴C选项不符合题意；
∵(−x+1)(1−x)=(−x+1)2，
∴D选项可用完全平方公式计算，符合题意．
故选：D.
利用完全平方公式和平方差公式对每个选项解析逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握上述两个公式是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：x(x+y)=x2+xy，是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意；
x2−2xy=x(x−2y)，符合因式分解的定义，则B符合题意；
24=2×2×2×3，等式的左边不是一个多项式，它不是因式分解，则C不符合题意；
x2+x+1=x(x+1)+1，等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意；
故选：B.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得2a+2b(2a)2+(2b)2=2a+2b4a2+4b2=2(a+b)4(a2+b2)=12×a+ba2+b2，
即将原分式中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的12，
故选：A.
利用分式的性质计算即可．
本题考查分式的基本性质，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：以C为旋转中心，把正方形CDEF逆时针旋转90∘，可得到正方形ABCD；
以D为旋转中心，把正方形CDEF顺时针旋转90∘，可得到正方形ABCD；
以CD的中点为旋转中心，把正方形CDEF旋转180∘，可得到正方形ABCD
故选：C.
分别以C，D，CD的中点为旋转中心进行旋转，都可以使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
7.【答案】4
【解析】解：原式中各单项式的次数分别为3，4，0，
则原式的次数是4，
故答案为：4.
组成多项式的单项式中，次数最高的单项式的次数是该多项式的次数，据此即可求得答案．
本题考查多项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】1x+y
【解析】解：所求代数式为：1x+y.
应先表示x与y的和为x+y，再表示其倒数为1x+y.
解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意根据题中的关键词来确定运算的先后顺序．
9.【答案】9b24a2
【解析】解：(2a3b)−2=9b24a2.
故答案为：9b24a2.
根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
本题考查了负整数指数幂，熟记负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数是解题的关键．
10.【答案】−4.06×10−5
【解析】解：−0.0000406=−4.06×10−5，
故答案为：−4.06×10−5.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：若单项式xn+1y3与13x3ym−1是同类项，
则n+1=3，m−1=3，
解得m=4，n=2，
所以m+n=4+2=6，
故答案为：6.
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可．
本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
12.【答案】x(x−2)2
【解析】解：x3−4x2+4x
=x(x2−4x+4)
=x(x−2)2，
故答案为x(x−2)2.
首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】2
【解析】解：∵a10÷(ak)4=a2，
∴a10÷a4k=a2，
∴a10−4k=a2，
∴10−4k=2，
解得k=2，
故答案为：2.
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，得出10−4k=2，从而得出k的值．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
14.【答案】2ab−8a3b
【解析】解：由题意得，
A=2ab(1−4a2)=2ab−8a3b，
故答案为：2ab−8a3b.
根据题意列出2ab(1−4a2)，然后根据单项式乘多项式的法则计算即可．
本题考查了整式的乘除，熟练掌握整式的乘除运算法则是解题的关键．
15.【答案】(m−n)4
【解析】解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab=m，(a−b)2=a2+b2−2ab=n，
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab=m−n，
∴ab=m−n4
先根据条件(a+b)2=a2+b2+2ab=m，(a−b)2=a2+b2−2ab=n，再根据(a+b)2−(a−b)2=4ab=m−n，即可求解．
掌握完全平方公式(a+b)2=a2+b2+2ab，(a−b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2.还要学会利用整体思想解题．
16.【答案】±6
【解析】解：∵关于x的二次三项式x2+kx+5可以用十字相乘法进行因式分解，5=1×5或5=(−1)×(−5)，
∴k=1+5=6或k=(−1)+(−5)=−6，
故答案为：±6.
由题意可得5=1×5或5=(−1)×(−5)，继而求得整数k的值．
本题考查十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】线段、圆
【解析】解：在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为线段、圆．
故答案为：线段、圆．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
18.【答案】50∘
【解析】解：如图，
∵∠CAC2=3∠BAC2，∠BAC=40∘，
∴∠BAC2=14×40∘=10∘，
由旋转和翻折得：∠B1AC2=∠B1AC1∠BAC=40∘，
∴∠BAB1=10∘+40∘=50∘，
∴旋转方向和旋转角度数可以是逆时针旋转50∘，
故答案为：逆时针旋转50∘(答案不唯一).
画出图形，根据∠CAC2=3∠BAC2求出∠BAC2=10∘，根据旋转和翻折的性质可得∠B1AC2=∠B1AC1∠BAC=40∘，求出∠BAB1，然后可得旋转的方向和角度．
本题考查旋转和翻折的性质，画出图形是解题关键．
19.【答案】解：原式=(x2−4)(x2−4)=x4−8x2+16.
【解析】原式后两个因式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.【答案】解：原式=(a2+a−2)(a2+a+6)
=(a−1)(a+2)(a2+a+6).
【解析】利用十字相乘法因式分解即可．
本题考查十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：原式=(8ax−2bx)+(4ay−by)
=2x(4a−b)+y(4a−b)
=(4a−b)(2x+y).
【解析】直接将原式分组，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
22.【答案】解：方程两边同乘(x−2)，得
3−(x−2)=−1，
整理，得
3−x+2=−1，
移项，合并同类项得
−x=−6，
系数化1，得
x=6，
经检验，x=6是原分式方程的解．
【解析】先去分母化为整式方程，解出x的值，再检验即可．
本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注意要检验．
23.【答案】解：(x2−4x2−x−6+x+2x−3)÷x+1x−3
=[(x+2)(x−2)(x−3)(x+2)+x+2x−3]⋅x−3x+1
=(x−2x−3+x+2x−3)⋅x−3x+1
=x−2+x+2x−3⋅x−3x+1
=2xx−3⋅x−3x+1
=2xx+1，
∵x−3≠0，x+2≠0，x+1≠0，
∴x≠3，x≠−2，x≠−1，
∴当x=1时，原式=2×11+1=1.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题知，
a2=1−1a1=1−1x(x≠0且x≠1)；
a3=1−1a2=1−11−1x=−1x−1(x≠0且x≠1)；
a4=1−1a3=1−1−1x−1=x(x≠0且x≠1)；
(2)当x=2023时，
a1=2023，a2=20222023，a3=−12022，a4=2023，…，
由(1)可知，
这一列数按2023，20222023，−12022循环出现，
又因为2024÷3=674余2，
所以a2024=20222023.
【解析】(1)根据题意，用x依次表示出a2，a3，a4即可．
(2)根据(1)的发现即可解决问题．
本题考查代数式变化的规律，能通过计算发现代数式的循环规律是解题的关键．
25.【答案】解：设这种牛奶原价每瓶是x元，
由题意可得：108x+1=900.75x，
解得x=12，
经检验，x=12是原分式方程的解，
答：这种牛奶原价每瓶是12元．
【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．
26.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求．
(2)如图，三角形A2B1C1即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)先取B1C1的中点，再根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图-平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
27.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6cm，BC=AD=8cm，
∵CE=CF=xcm，
∴BE=BC−CE=(8−x)cm，DF=CD−CF=(6−x)cm，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12x2(cm2)，S△ABE=12AB⋅BE=12×6×(8−x)=24−3x(cm2)，S△ADF=12AD⋅DF=12×8×(6−x)=24−4x(cm2)，
∴S四边形AECF=S长方形ABCD−S△ABE−S△ADF
=6×8−(24−3x)−(24−4x)
=48−24+3x−24+4x
=7x(cm2)；
(2)∵三角形ABE与三角形ADF的面积之和等于20，
∴24−3x+24−4x=20，
解得x=4，
∴S△CEF=12×42=8(cm2)，S△ABE=24−3×4=12(cm2)，S△ADF=24−4×4=8(cm2)，
∴S△AEF=S长方形ABCD−S△CEF−S△ABE−S△ADF
=6×8−8−12−8
=20(cm2).
【解析】(1)分别求出△ABE、△ADF的面积，即可求出四边形AECF的面积；
(2)根据三角形ABE与三角形ADF的面积之和等于20即可求出x的值，即可求出三角形AEF的面积．
本题考查了三角形的面积，列代数式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
28.【答案】解：(1)如图，
点C扫过的是CG，
∴∠CAG=∠DAB=90∘，
∴S线段AC扫过=90⋅π⋅52360=254π(cm2)；
(2)∵AB=4，AM=x，
∴BM=4−x，
同理可得：GM=4−x，EN=DN=3−x，
∴S六边形BCDEFG=S△BMG+S△DEN+2S矩形ABCD−S正方形AMHN
=12(4−x)2+12(3−x)2+2×3×4−x2
=36.5−7x，(0(3)由(2)知：S六边形BCDEFG=S△BMG+S△DEN+2S矩形ABCD−S正方形AMHN，
∴24=S1+S2+24−S3，
∴S1+S2−S3=0.
【解析】(1)点C扫过的是CG，根据扇形面积公式得出结果；
(2)根据S六边形BCDEFG=S△BMG+S△DEN+2S矩形ABCD−S正方形AMHN求得结果；
(3)根据(2)代入得出结论．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，扇形面积公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．