2023-2024学年上海市崇明区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市崇明区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. 2a(3a−1)=6a2−1
C. (3a2)2=6a4D. x3+x3=2x3
2.下列各式因式分解正确的是( )
A. x2−a2=(x−a)2B. 4a2+4a+1=4a(a+1)+1
C. −x2+4x=−x(x+4)D. x2−4y2=(x−2y)(x+2y)
3.下列说法正确的是( )
A. −2vt3的系数是−2B. 32ab3的次数是6次
C. x+y5是多项式D. x2+x−1的常数项为1
4.归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为( )
A. 3n+2B. 4n+1C. 3n+5D. 3n+1
二、填空题：本题共13小题，每小题2分，共26分。
5.(−2)−2=______.
6.多项式5x2−27的常数项是______.
7.计算：(3a+2b)(a−2b)=______.
8.计算：10a3b2÷(−5a2b)=______.
9.若单项式2xmy3与单项式−5xyn+1是同类项，则它们的和为______.
10.若分式a2−4a+2的值为零，则a的值是______.
11.最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为______.
12.一个多项式减去3m等于5m2−3m−5，则这个多项式是______.
13.若关于x的方程：3x−3+axx2−9=4x+3有增根，则a=______.
14.如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A′B′CD′，则阴影部分的面积为______.
15.如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点______(填“A”“B”“C”或“D”)
16.将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等.已知九宫格中的部分代数式如图所示，则M−N=______.(用含有x的代数式表示)
17.如图，在正方形方格中，阴影部分是4张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有______种.
三、计算题：本大题共2小题，共7分。
18.分解因式：x3+5x2+6x.
19.解方程：8x2−4+1=xx−2.
四、解答题：本题共9小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
计算：(2x+3y)2−2x⋅(2x−3y).
21.(本小题5分)
计算：[(2x2)3−6x3(x3−2x2)]÷2x4.
22.(本小题5分)
分解因式：2ab2−6a2b2+4a3b2.
23.(本小题5分)
分解因式：a2−4b2−2a+4b.
24.(本小题5分)
计算：x−2−y−2x−1−y−1(结果不含负整数指数幂).
25.(本小题7分)
先化简分式：(a+3a2−4−aa2−a−6)÷2a−95a−10，再从3，2，5中选一个你认为合适的a值，代入求值.
26.(本小题8分)
春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春⋅逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛.如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题.
项目主题：设计与制作风筝.
项目实施：任务一：了解风筝
“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案______.
任务二：设计风筝
设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计.“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半.
任务三：制作风筝
传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”.“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，AD所在的直线是该图形的对称轴，BD=30cm，则竹条BC的长为______cm.
任务四：放飞风筝
同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善.
项目反思：
同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”.请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______.
27.(本小题7分)
列分式方程解应用题：
刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
28.(本小题8分)
定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角.
(1)如图①所示，已知∠AOB=70∘，∠AOC=15∘，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=______；
(2)如图②，已知∠AOB=63∘，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0<α<63∘)至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
(3)已知∠AOB=30∘，把一块含有30∘角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3∘/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故选项不合题意；
B、2a(3a−1)=6a2−2a，故选项不合题意；
C、(3a2)2=9a4，故选项不合题意；
D、x3+x3=2x3，故选项符合题意，
故选：D.
【分析】此题考查的是整式的乘法运算，掌握相关运算法则是解决此题的关键．
A、利用同底数幂的乘法法则计算判断即可；B、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；C、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算判断即可；D、利用合并同类项法则计算判断即可．
2.【答案】D
【解析】解：x2−a2=(x+a)(x−a)，则A不符合题意；
4a2+4a+1=(2a+1)2，则B不符合题意；
−x2+4x=−x(x−4)，则C不符合题意；
x2−4y2=(x−2y)(x+2y)，则D符合题意；
故选：D.
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、−2vt3的系数是−23；故A错误．
B、32ab3的次数是1+3=4；故B错误．
C、根据多项式的定义知，x+y5是多项式；故C正确．
D、x2+x−1的常数项为−1，而不是1；故D错误．
故选：C.
根据单项式次数、系数的定义，以及多项式的有关概念解答即可；单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和．
确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
4.【答案】A
【解析】解：设摆成第n(n为正整数)个“T”字形需要an个棋子．
观察图形，可知：a1=5=3×1+2，a2=8=3×2+2，a3=11=3×3+2，…，
∴an=3n+2.
故选：A.
设摆成第n(n为正整数)个“T”字形需要an个棋子，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，可找出变化规律“an=3n+2”，此题得解．
本题考查了规律型：图形的变化类，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，找出变化规律“an=3n+2”是解题的关键．
5.【答案】14
【解析】解：(−2)−2=14.
故答案为：14.
运用负整数指数幂的法则求解即可．
本题主要考查了负整数指数幂，解题关键是熟记法则．
6.【答案】−27
【解析】解：整理，得57x2−27，
所以这个多项式的常数项为−27.
故答案为：−27.
先将多项式整理，再判断常数项即可．
本题考查多项式，正确记忆相关概念是解题关键．
7.【答案】3a2−4ab−4b2
【解析】解：原式=3a2−6ab+2ab−4b2
=3a2−4ab−4b2.
故答案为：3a2−4ab−4b2.
利用多项式乘多项式的乘法展开计算，进一步合并即可．
此题考查多项式乘多项式，掌握计算方法是解决问题的关键．
8.【答案】−2ab
【解析】解：10a3b2÷(−5a2b)=−2ab，
故答案为：−2ab.
根据单项式除单项式的除法法则计算即可．
本题考查单项式除单项式的除法法则，熟练掌握单项式除单项式的除法法则是解题的关键．
9.【答案】−3xy3
【解析】解：由单项式2xmy3与单项式−5xyn+1是同类项，得：
m=1，n+1=3，
解得m=1，n=2.
∴2xy3+(−5xy3)=−3xy3.
故答案为：−3xy3.
根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，可得答案．
本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，注意：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可．
10.【答案】2
【解析】解：由题意得：a2−4=0，且a+2≠0，
解得：a=2.
故答案为：2.
根据分式值为零的条件可得a2−4=0，且a+2≠0，求出a的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11.【答案】3.6×10−7
【解析】解：将数据0.00000036用科学记数法表示为3.6×10−7，
故答案为：3.6×10−7.
根据科学记数法的表示方法可直接得出答案．
本题考查了科学记数法，解答本题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法：一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】5m2−5
【解析】解：根据题意得，
5m2−3m−5+3m
=5m2−5.
故答案为：5m2−5.
已知减数和差，求被减数，得出两个多项式的和就是要求的多项式．
本题考查了整式的加减，解题关键是列出要求的多项式．
13.【答案】−6或8
【解析】解：∵原方程有增根，
∴增根可能是x=3或−3，
3x−3+axx2−9=4x+3，
方程两边都乘以(x+3)(x−3)，
3(x+3)+ax=4(x−3)，
(a−1)x=−21，
把x=3代入得，(a−1)×3=−21，
解得：a=−6，
把x=−3代入得，(a−1)×(−3)=−21，
解得：a=8，
故答案为：−6或8.
因为有增根，所以增根可能是使分母为零的值，得出增根为x=±3，解分式方程，把x的值分别代入得出a的值即可．
本题考查了分式方程的解法，增根，解题关键是找出增根．
14.【答案】12
【解析】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长B′C=6−2=4，宽A′B′=4−1=3，
∴阴影部分的面积=4×3=12，
故答案为：12.
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长与宽，即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
15.【答案】B
【解析】解：如图，连接HF，EN，作线段HF，EN的垂直平分线，
两条垂直平分线的交点B就是旋转中心．
故答案为B.
运用正方形网格的特征画出对应点连线段的垂直平分线，垂直平分线的交点就是旋转中心，由此不难找到答案．
本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．
16.【答案】−2x2+4x
【解析】解：设最中间的代数式为P，
由题意可得，(x2−x)+(x−1)+N=(x2−x)+P+(x2−x−1)，
∴P=−x2+2x+N，
∴第一列中间的代数式为：(x2−x)+(x−1)+N−(x−x2+2x+N)=2x2−3x−1，
∵第一列的三个数之和=第三行的三个数之和，
∴M+(2x2−3x−1)+(x2−x)=(x2−x)+(x−1)+N，
化简，得：M−N=−2x2+4x，
故答案为：−2x2+4x.
先设最中间的代数式为P，然后根据题意，即可用含x的代数式表示出P，M，N，从而可以计算出M−N.
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，用含x的代数式表示出M、N.
17.【答案】8
【解析】解：如图，有8种方案，
故答案为：8.
画出图形即可判断．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：x3+5x2+6x，
=x(x2+5x+6)，
=x(x+2)(x+3).
【解析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
19.【答案】解：去分母得：8+x2−4=x(x+2)，
整理得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20.【答案】解：原式=4x2+12xy+9y2−4x2+6xy
=18xy+9y2.
【解析】利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：[(2x2)3−6x3(x3−2x2)]÷2x4
=(8x6−6x6+12x5)÷2x4
=(2x6+12x5)÷2x4
=2x6÷2x4+12x5÷2x4
=x2+6x.
【解析】先运算括号内的整式，再根据多项式除以单项式法则计算求解即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方、单项式乘以单项式，多项式除以单项式法则是解题的关键．
22.【答案】解：原式=2ab2(1−3a+2a2)
=2ab2[(1−a)−2a(1−a)]
=2ab2(2a−1)(a−1).
【解析】先提取公因式，再利用分组分解即可得到答案．
本题考查提取公式式法因式分解及分组分解法，解题的关键是提取公因式后正确的分组．
23.【答案】解：原式=a2−4b2−(2a−4b)
=(a+2b)(a−2b)−2(a−2b)
=(a+2b−2)(a−2b).
【解析】前两项用平方差公式分解后提取公因式即可．
考查了分组分解法分解因式；前后两项分别组合是关键．
24.【答案】解：x−2−y−2x−1−y−1
=(x−1+y−1)(x−1−y−1)x−1−y−1
=x−1+y−1
=1x+1y
=y+xxy.
【解析】先把分式的分子分解因式，再约分，再根据负整数指数幂进行变形，最后根据分式的加法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂和分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
25.【答案】解：(a+3a2−4−aa2−a−6)÷2a−95a−10
=[(a+3)(a−3)(a+2)(a−2)(a−3)−a(a−2)(a+2)(a−2)(a−3)]÷2a−95(a−2)
=a2−9−a2+2a(a+2)(a−2)(a−3)×5(a−2)2a−9
=2a−9(a+2)(a−2)(a−3)×5(a−2)2a−9
=5(a+2)(a−3)
=5a2−a−6，
∵a+2≠0，a−2≠0，a−3≠0，
∴a≠±2，3，
当a=5时，原式=5(5+2)(5−3)=514.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
26.【答案】项目实施：
任务一：C；
任务二：下图即为所求；
任务三：60；
项目反思：
对应点的连线被对称轴垂直平分.
【解析】解：任务一：不是轴对称图形的是C；
任务二：见答案；
任务三：竹条BC的长为60cm；
项目反思：用到的数学知识：对应点的连线被对称轴垂直平分，(答案不唯一).
任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断；
任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；
项目反思：结合以上任务即可解决问题．
本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
27.【答案】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得：20x=303x+3060，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴3x=60，
答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米．
【解析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
28.【答案】20∘
【解析】解：(1)∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB=70∘，
∴∠COD=12∠AOB=35∘，
∵∠AOC=15∘，
∴∠BOD=70∘−35∘−15∘=20∘，
故答案为：20∘；
(2)旋转的角度α为21∘时，∠COB是∠AOD的内半角；理由如下：
∵∠AOC=∠BOD=α，
∠AOB=63∘，
∴∠AOD=63∘+α，∠BOC=63∘−α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴2(63∘+α)=63∘−α，
∴α=21∘，
∴旋转的角度α为21∘时，∠COB是∠AOD的内半角；
(3)在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，理由如下；
设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，
如图1，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠AOD=30∘+α，
∴12(30∘+α)=30∘−α，
解得：α=10∘，
∴t=103(s)；
如图2，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠AOD=30∘+α，
∴12(30∘+α)=α−30∘，
∴α=90∘，
∴t=903=30(s)；
如图3，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360−α，
∴∠BOC=360∘+30∘−α，
∴12(360∘+30∘−α)=360∘−α−30∘，
∴α=270∘，
∴t=90(s)，
如图4，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC=∠BOD=360−α，
∴∠BOC=360∘+30∘−α，
∴12(360∘+30∘−α)=30∘+30∘−(360∘+30∘−α)，
解得：α=350∘，
∴t=3503(s)，
综上所述，当旋转的时间为103s或30s或90s或3503s时，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角．
(1)根据内半角的定义，即可求解；
(2)根据旋转的性质可得：∠AOC=∠BOD=α，∠AOB=∠COD=63∘，再根据内半角的定义，即可求解；
(3)分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解．
本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键．M
x2−x−1
x
x2−x
x−1
N