江苏省扬州zx2024届高三下学期开学测试数学试卷及答案

这是一份江苏省扬州zx2024届高三下学期开学测试数学试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列，则是成立的（ ）条件
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
3．已知向量，，若，则（ ）
A．8B．C．D．
4．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2．已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（ ）
A．3等星是0.5等星亮度的倍B．0.5等星是3等星亮度的倍
C．3等星是0.5等星亮度的10倍D．0.5等星是3等星亮度的10倍
5．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为且周长之和为，则该圆台的高为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．已知一次函数在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点，令,，数列的前n项和为，当时，n的值为（ ）
A．19B．20C．21D．22
8．已知为双曲线：的一个焦点，C上的A,B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 已知复数,，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则或
10．已知A，B是随机事件，若且，则（ ）
A．B．A，B相互独立
C．D．
11．已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 ．
13．在中，边的中点为，为线段上一动点，若，则的最小值为 ．
14．已知实数,分别满足,，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知分别为的内角的对边，且．
(1) 求；
(2) 若，的面积为2，求．
16．（本题满分15分）
如图，直四棱柱中，底面为等腰梯形，其中，，，，N为中点．
(1) 若平面交侧棱于点P，求证：，并求出AP的长度；
(2) 求平面与底面所成角的余弦值．
17．（本题满分15分）
已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设直线与椭圆交于,两点，过,分别作直线的垂线，垂足为,，与轴的交点为．若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围．
18．（本题满分17分）
某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
(1) 如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．
(2) 某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．
①求该学生第三天不玩手机的概率P；
②设该学生第n天不玩手机的概率为，求．
19．（本题满分17分）
已知函数．
(1) 当时，求的单调区间；
(2) 若是的极小值点，求的取值范围．
扬州中学2023~2024学年度第二学期开学检测
高三数学参考答案
1．A2．B3．B4．D5．C6．D7．B8．D
【详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接，
因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以，因为，，所以.
因为，所以；
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，即.
9．CD10．ACD11．ABD
12．13．914．
【详解】由得，令，则方程化为，
设，则，易知时，，递减，时，，递增，而时，，因此时，，
又，因此，且，∴，故答案为：．
15．【详解】（1）在中，由余弦定理得，，代入，
则，即，
即，
因为，且时上式不成立，所以，所以，则
（2）因为的面积为2，所以，即，
又因为，，，所以，
则，则
16．【详解】（1）由，面，面，则面，
由，面，面，则面，
，面，故面面，
由平面交侧棱于点P，N为中点，故面，
故面面，又面面，
综上，.
过作，则为的中点，
易知，即，
所以.
（2）将延长交于，连接，则平面底面，
由，，，
故在等腰梯形中，且，
所以，且，
由，则，所以，
在中，则，
过作于，则，
连接，又面，面，则，
，面，则面，面，
所以，面，故为平面与底面所成角平面角，
所以，则.
综上，平面与底面所成角的余弦值为.
17．【详解】（1）由题意，，则点在椭圆上，
得①，，即 ②，
联立①②，解得，，
椭圆的方程为．
（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为．
联立，消去得．
设,，,，则有，且．
设，，的面积分别为，，，
，，成等差数列，，即，
则；
即，得，
又，，
于是，，
，解得，即或．
所以实数的取值范围为．
18．【详解】（1）设“回答问题1”记为事件，“回答问题2”记为事件，回答“是”记为事件，则，，，
因为，
所以，
即该城市沉迷手机的中学生所占；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）由题意知，第天不玩手机的概率是，
第天玩手机的概率是，
所以，即，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
19．【详解】（1）当时，，
设，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，取得极大值，所以，
所以在上单调递减；
（2），
设，则，
（i）当时，二次函数开口向上，对称轴为，
当时，单调递增，
因为，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点．
当时，，又，
所以存在，使得，所以当时，单调递增，
又，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点；
（ii）当时，，当时，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极小值点；
（iii）当时，开口向下，对称轴为，
此时，故，使，
当时，，因此在上单调递增，
又，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以为的极小值点；
（iv）当时，，使，
当时，，因此在上单调递减，
又，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以为的极大值点；
（v）当时，由（1）知非极小值点．
综上所述，．