赤峰市第四中学分校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份赤峰市第四中学分校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则( )
A.B.C.2D.
3．某企业举办冬季趣味运动会,在跳绳比赛中,10名参赛者的成绩(单位:个)分别是152,136,125,131,129,123,143,119,115,138,则这组数据的中位数是( )
A.126B.129C.130D.131
4．函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
5．已知函数有极值,则( )
A.1B.2C.eD.3
6．已知直线l交抛物线于M,N两点,且MN的中点为,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
7．已知,则的概率为( )
A.B.C.D.
8．某班级举行“变废为宝”手工活动,某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后,制成了简易笔筒(如图2)的侧面,在它的轴截面中,,,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为( )
A.B.C.D.
9．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,,则的外接圆半径为( )
A.B.C.D.
10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若在上单调递增,则的最大值为( )
A.B.C.D.1
11．已知椭圆,,为两个焦点,P为椭圆C上一点,若,则的面积为( )
A.2B.3C.4D.6
12．折纸既是一种玩具,也是一种艺术品,更是一种思维活动.如图,有一张直径为4的圆形纸片,圆心为O,在圆内任取一点P,折叠纸片,使得圆周上某一点刚好与点P重合,记此时的折痕为l,点Q在l上,则的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
二、填空题
13．若,则__________.
14．设x,y满足约束条件,则的最大值为__________.
15．已知单位向量,满足,则__________.
16．已知函数的最小值为,则__________.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为.且.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．某校为了解该校男生的身高情况,随机抽取100名男生,测量他们的身高(单位:厘米),将测量结果按,,,,,分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校男生身高的中位数;
（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
19．已知函数.
（1）若,求曲线在处的切线方程;
（2）若,恒成立,求实数a的取值范围.
20．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是菱形,,,.
（1）证明:平面ABCD.
（2）若,,求三棱锥的体积.
21．已知双曲线的离心率为,右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得为定值?若存在.求出该定值;若不存在,请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是.
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）若直线l与圆C交于A,B两点,且,求m的值.
23．已知,,且.
（1）证明:.
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得,则.
2．答案：B
解析：因为,所以.
3．答案：C
解析：将这组数据从小到大排列为115,119,123,125,129,131,136,138,143,152,第5个和第6个数据分别是129和131,则这组数据的中位数是.
4．答案：B
解析：由题易知为偶函数,排除选项;当时,,,所以,排除C,D选项.
5．答案：B
解析：由题意可得.令,解得.由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增,则,解得.
6．答案：C
解析：易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为,,则,两式相减得,整理得.因为MN的中点为,所以,即直线l的斜率为.
7．答案：C
解析：由,得.
因为,所以,则所求的概率.
故选:C.
8．答案：B
解析：延长CB,DA交于点O,设圆台上､下个底面的圆心分别为,.连接,
设,,.因为,所以,
则.设所求圆心角为,则,所以.
9．答案：C
解析：因为,,,所以,所以.设的外接圆半径为R,则.
10．答案：C
解析：将的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
因为,所以.
因为在上单调递增,所以,得,所以的最大值为.
11．答案：C
解析：由,解得,.因为,,所以,.
12．答案：D
解析：如图,
设P关于l对称的点为,则在圆O上,连接,,则有,故.
13．答案：
解析：因为,所以,
所以.
14．答案：12
解析：作出可行域(图略),当直线经过点时,z有最大值,最大值为12.
15．答案：
解析：因为,所以,所以,则,故.
16．答案：2
解析：当时,.因为的最小值为,所以函数在上取得最小值,则,解得.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,
当时,.
符合,所以数列的通项公式为.
（2）,
则.
18．答案：（1）155.625厘米
（2）
解析：（1）因为,
所以该校男生身高的中位数在内.
设该校男生身高的中位数为m,则,
解得,即该校男生身高的中位数约为155.625厘米.
（2）由题意可知从身高在内的男生中抽取的人数为,记为,
从身高在内的男生中抽取的人数为,记为c,d,e,…
从这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,,de,,共10种,
其中符合条件的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7种,
故所求概率.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）若,则,所以.
因为,
所以,所以所求切线方程为,即.
（2）因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
因为当时,恒成立,
所以,所以,故实数a的取值范围是.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:记.
因为四边形ABCD是菱形,所以.
因为,平面PAC,平面PAC,且,所以平面PAC.
因为平面PAC,所以.
因为,平面ABCD,平面ABCD,且,所以平面ABCD.
（2）因为,所以点到平面的距离是3.
因为四边形ABCD是边长为4的菱形,且,所以,
则四棱锥的体积,
三棱锥的体积,
三棱锥的体积,
故三棱锥的体积.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得解得
则双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0,设直线,,,,
联立,整理得,
则,.
因为,所以.
将代入上式,
得.
若为定值,则,解得,
故存在点,使得为定值.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由(为参数),得,
则圆C的普通方程为.
由,得,
则直线l的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为,半径为3,
则圆心C到直线l的距离,
所以.
因为,所以,
解得.
23．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）证明:因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当时,等号成立.
（2）因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,
则,
故,即的最小值为3.