山东省名校考试联盟2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省名校考试联盟2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．二项式的展开式中常数项为( )
A.4B.8C.16D.32
2．欧拉公式(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.已知,则( )
A.1B.C.2D.
3．已知非零向量,满足,且,则与夹角为( )
A.B.C.D.
4．已知函数是定义在R上的奇函数,则实数a的值是( )
A.1B.C.2D.
5．已知数列是以为首项,q为公比的等比数列,则“”是“是单调递减数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．若曲线在处的切线与曲线也相切,则( )
A.B.1C.D.2
7．已知点P是直线上一动点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为( )
A.0B.1C.D.2
8．已知双曲线的左,右焦点分别为,,O为原点,以为直径的圆与双曲线交于点P,且,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9．进入冬季哈尔滨旅游火爆全网,下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
10．已知函数的部分图像如图所示,则( )
A.
B.是图象的一条对称轴
C.在上有两个不相等的解,则
D.已知函数,当取最大值时,
11．在长方体中,,,E为的中点,点P满足,则( )
A.若M为的中点,则三棱锥体积为定值
B.存在点P使得
C.当时,平面PBC截长方体所得截面的面积为
D.若Q为长方体外接球上一点,,则的最小值为
三、填空题
12．从2,3,4,5,6,7,8中任取两个不同的数,事件A为“取到的两个数的和为偶数”,事件B为“取到的两个数均为偶数”,则________.
13．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则外接圆的半径为________.
14．已知函数,若不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.
四、解答题
15．已知数列满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）,求数列的前项和.
16．甲,乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜,比赛结束),每一局比赛中两人都要决出胜负,不出现平局,且甲获胜的概率为.
（1）若,求甲以获胜的概率;
（2）若,求比赛结束时,比赛局数X的分布列及数学期望.
17．已知四棱锥,平面ABCD,四边形ABCD为梯形,,,.
（1）证明:平面平面PAC;
（2）平面PAB与平面PCD的交线为l,求直线l与平面PCB夹角的正弦值.
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）设函数.
(i)求的值;
(ii)证明:存在实数,使得曲线关于直线对称.
19．已知抛物线,A,B,C是W上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,,,则称三角形为抛物线的外切三角形.
（1）当点的坐标为,B为坐标原点,且时,求点的坐标;
（2）设外切三角形的垂心为H,试判断H是否在定直线上,若是,求出该定直线;若不是,请说明理由;
（3）证明:三角形ABC与外切三角形的面积之比为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：展开式的通项为,
令得,所以展开式中常数项为.
2．答案：A
解析：由欧拉公式可得,
所以,
故选:A.
3．答案：C
解析：由题意,,,
所以,
所以,
解得,
所以,
又因为,
所以.
4．答案：B
解析：
5．答案：B
解析：若,则或,即或,
当或时,数列为递减数列,
当时,数列不是递减数列,
所以是数列是单调递减数列不充分条件;若数列是单调递减数列,
则或即,
所以是数列是单调递减数列的必要条件,
故选B.
6．答案：D
解析：对求导,得到,当时,,处的切线方程为.对求导,得到,当时,得,
所以切点坐标为将切点坐标代入切线方程中,有,解得.故答案为:D
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：如图所示
不妨设点P位于第一象限,由双曲线的定义知:,
因为,
所以,
由,得,
整理得,
解得,
所以或(舍去),
因为,
所以,
所以,
代入,得,,
由,得,
整理得,
因为,,
所以,
所以双曲线C的离心率为.
9．答案：BC
解析：对于A,根据所给折线图可以看出中央大街日旅游人数的最大值为2.8万人,最小值为0.9万人,所以极差为万人,故A错误;
对于B,从图中可以看出,冰雪大世界日旅游人数的数据按照从小到大可排列为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9中位数为2.3,所以B正确;
对于C,冰雪大世界日旅游人数的平均数为万,
中央大街日旅游人数的平均数为万,所以冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大,故C正确;
对于D,冰雪大世界日旅游人数的方差为
中央大街日旅游人数的方差为,
所以冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.
10．答案：ABD
解析：对于A,由图中可知:半个周期为:,所以,解得,故A正确;
对于B,因为,是函数的两个交点,所以,,
则,
,解得:,
所以函数的对称轴满足:,,
即,,故B正确;
对于C,原方程可化为:,
因为,所以存在,当时均只有一个交点,故C错误.
对于D,由题意得:,可化为,其中,当取最大值时,
所以,故D正确.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：/
解析：,
,
,
,,
由余弦定理得,
为三角形内角,
,
由正弦定理得(R为外接圆半径)
,
故答案为:.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
即,,时,,
等式两端相加项和,
即
时,也符合此通项,故
（2）,
故.
16．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）当时,甲以获胜的概率为.
（2）由题意可知,X的所有可能取值为3,4,5,
则,
,,
所以X的分布列为x,3,4,5,P,,,,
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,
又,,,
在中,,
,
（2）,平面PAB
在PAM中,,,则,
在,,,,
,
,
平面PCB夹角正弦为:
18．答案：（1）答案见解析
（2）(i)0;
(ii)证明见解析
解析：（1）,单绸性用专数.
.①设.
则在小于0,在大于0
在单朋成,在单调增.
②,,在单调减.
（2）,
(i),
,
,
(ii)证明,使关于对称.
即证明,使(对特的结论)
由(i),可猜测.即,
,
即关于对称.
19．答案：（1）
（2）是,
（3）2
解析：（1）由题意得,求导得,则切线方程为,为切线与y轴交点,则.
（2）同理可得:切线的3程:.联立得同理由可知:.
同理:,两式相减得:
（3）由切线,以及（2）中的坐标可得:
故与面积之比为定值2.