数学八年级下册第四章 因式分解1 因式分解随堂练习题

这是一份数学八年级下册第四章 因式分解1 因式分解随堂练习题，共14页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
4．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1B．9a2b2-3ab+1C．x2-x+D．-x2-y2
6．若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（ ）
A．﹣3B．3C．1D．﹣1
7．若，则的值为（ ）
A．13B．18C．5D．1
8．若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2B．4C．D．
9．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝yB．x＞yC．x＜yD．x≥y
10．将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35．则图2中长方形的周长是（ ）
A．24B．26C．28D．30
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．分解因式：________．
12．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
13．若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为_________．
14．将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式正确的是
15．因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
16．因式分解：__________．
17．边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ___．
18．阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．分解因式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；
（6）； （7）；
（8）； （9）．
20．已知，为正整数，且，求，的值．
21．利用因式分解计算：（1）
（2） （3）
22．先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3-x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3-x2+m=（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）=0，则x=-，得3（-）3-（-）2+m=0，∴m=
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为（x-2），则实数m= ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x-2），求m，n的值．
23．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
24．请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+64（2）x4+4y4；（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
25．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：（1）；（2）．
问题二：探究对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
26．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知，，求的值．
答案
一、选择题．
1．D
【分析】根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，这个因式就叫做这个多项式的公因式，进行求解即可．
【详解】观察可知，这个多项式的每一项都含有，∴提取的公因式为，故选D．
2．B
【分析】根据因式分解的定义与方法对选项进行一一分析即可得出结论．
【详解】解：A. 不是因式分解，故选项A不正确；
B. 是因式分解，故选项B正确；
C. 是多项式乘法，不是因式分解，故选项C不正确；
D. 因式分解不正确，故选项D不正确．故选择B．
3．B
【分析】首先将 变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴ ，故选：B．
4．D
【分析】尝试用提公因式或者公式法因式分解的方法分解各选项，即可
【详解】A.B.C选项都不能通过提公因式或者公式法直接因式分解，=，故选D
5．C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C．
6．A
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．
【详解】解：（x﹣2）（x+1）＝x2+x﹣2x﹣2＝x2﹣x﹣2，
∵二次三项式x2+mx+n可分解为（x﹣2）（x+1），
∴m＝﹣1，n＝﹣2，∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，故选：A．
7．A
【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可．
【详解】解：
∵∴原式故选A
8．C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】又
，，均为整数故选C．
9．D
【分析】计算x，y的差，利用完全平方公式将a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4转化为，再根据平方的非负性解题．
【详解】解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4） a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4
故选：D．
10．A
【分析】由题意：按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35，列出方程组，求出3m=7，n=5，即可解决问题．
【详解】依题意，由图1可得，，由图2可得，
即解得或者（舍）时，
则图2中长方形的周长是．故选A．
二、填空题
11．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】原式==，故答案是：．
12．
【分析】设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；
【详解】设另一个因式为，则，
即，，解得，故答案为：．
13．或者
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，
即，
，解得：或者，故答案为：或者．
14．、、
【分析】把分别加上各选项的单项式，再按完全平方公式分解因式即可得到答案.
【详解】解：: 是完全平方式；
:是完全平方式；
:是完全平方式；
15．; 22020．
【分析】先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案为；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案为22020．
16．
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
17．490
【分析】根据题意可得： ， ，再将代数式进行因式分解，代入即可求解．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，∴ ， ，
∴ ．故答案为：490．
18．
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
三、解答题
19．解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
20．解：∵，
∴或，∴或，
∵，为正整数，∴．
21．解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）=1+24××（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+564-1=564；
（3）===
22．解：（1）由题意得，x2+mx-8=（x-2）•K（K为整式），
令x-2=0，则x=2，把x=2代入x2+mx-8=0，得，m=2，故答案为：2；
（2）设：x3+3x2+5x+n=（x+1）•A（A为整式），
若x3+3x2+5x+n=（x+1）•A=0，则x+1=0或A=0，
当x+1=0时，x=-1．则x=-1是方程x3+3x2+5x+n=0的解，
∴（-1）3+3×（-1）2+5×（-1）+n=0，即-1+3-5+n=0，解得，n=3；
（3）设x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B（B为整式），
若x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B=0，则x+1=0或x-2=0或B=0，
当x+1=0时，即x=-1，∴（-1）4+m•（-1）3+n•（-1）-14=0，即m+n=-13①，
当x-2=0时，即x=2，∴24+m•23+n•2-14=0，即4m+n=-1②，
联立①②解方程组得：．
23．解：（1）由y2＋8y＋16＝（y＋4）2得出运用了两数和的完全平方公式，故选：C;
（2）∵x2−4x＋4＝（x−2）2，∴分解不彻底，（x2−4x＋4）2＝[（x−2）2]2＝（x−2）4．
故答案为：不彻底；（x−2）4．
（3）设＝y，
原式＝y（y＋18）＋81＝y2＋18y＋81＝（y＋9）2＝（＋9）2＝[（）2]2＝（）4．
24．解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2＝（x2+8）2﹣（4x）2＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；
（2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab）＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b）＝（x﹣b）（x+b﹣2a）．
25．解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
26．解：（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为
所以截去后得到的几何体的体积为：
故答案为：
（2）
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，

所以长方体③的体积为
故答案为：，
（3）由题意得：

故答案为：
（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：

故答案为：
（5） ，，

，