第二十一章 一元二次方程章节培优检测卷-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，判断即可．
【详解】解：A、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、，若，则不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、不是整式方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟记概念是关键．
2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）方程经配方后，可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选A．
【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于的方程有一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有一个根为，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．
4．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】先化为一般式，再根据根与系数关系求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程即的两个根，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
5．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且B． C． 且D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：由题意可得：
，
解得：且
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．
6．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【详解】解：设设纸带的宽为x cm，
所以整个挂画的长为cm，宽为，
根据题意，得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，再列出一元二次方程．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）方程化为一般形式是____________________；
【答案】
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）方程是一元二次方程，则的值是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得到：且，由此可求得m的值．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴且，
即且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
9．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．
10．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为元，第三年折旧后的价格为元，与第三年折旧后的价格为14.45万元建立方程即可．
【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为14.45万元建立方程是关键．
11．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________．
【答案】
【分析】根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．
12．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到，，再由求出，，则，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023·全国·九年级假期作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)
【答案】(1)，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是
(2) ，这个方程的二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5
【分析】根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项．
【详解】（1），
移项得：，
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是；
（2），
展开得：，
移项得：，
二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
14．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）直接开平方求解即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，；
（2）解：，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于对直接开平方、因式分解解一元二次方程的熟练掌握与正确运算．
15．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根．
(1)求m的值；
(2)求直角三角形的面积和斜边上的高．
【答案】(1)14；(2) 直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.
【详解】试题分析：由勾股定理得出a2＋b2＝100，然后根据韦达定理分别将a+b、ab用含m的式子表示，再变形为关于m的一元二次方程，解出m再一一验证即可；（2）求直角三角形面积直接利用公式，要求斜边上的高可以利用面积法求解．
试题解析：解：(1)由勾股定理得a2＋b2＝100，
∵a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根，
∴a＋b＝m，ab＝3m＋6.而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝100，
∴m2－2(3m＋6)＝100，解得m1＝14，m2＝－8.
当m＝14时，方程为x2－14x＋48＝0，
方程的两个根x1＝6和x2＝8符合题意；
当m＝－8时，方程为x2＋8x－18＝0，
方程的两个根异号，不可能作为直角三角形两条直角边的长，所以舍去m＝－8.
故m的值为14.
(2)S＝ab＝24.设斜边上的高为h，
则有×10×h＝24，解得h＝4.8.
即直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.
点睛：1．根与系数的关系
如果方程有两个实数根，，那么，．
2．涉及两根的代数式的重要变形
（1）；（2）；
（3）；（4）．
16．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）某商场销售一种商品，每件进货价为190元．调查发现，当每件销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，商场要想使这种商品平均每天的销售利润达到280元，且尽量减少库存，求每件商品的销售价应定为多少元？
【答案】200元
【分析】设每件商品降价元销售，则每件商品的利润为元，平均每天的销售量为件，根据总利润销售每件的利润平均每天的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：设每件商品降价元销售，则每件商品的利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，当时，．
要尽量减少库存，
，
．
答：每件商品的销售价应定为200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程一定有两个实数根，得，即可；
（2）根据，，把变形为：，即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
解得：．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）已知关于x的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．
(1)若时，请判断的形状并说明理由；
(2)若是等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)为直角三角形，理由见解析
(2)或5
【分析】（1）将代入方程，求出方程的根，进而判断出的形状即可；
（2）分是等腰三角形的底边和腰长，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
当时，，即：，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形；
（2）当是底边时：则是的两条腰，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，等式不成立，故此种情况不存在；
∴是的一条腰，
∴方程中有一个根为，
∴，解得：，
当时，方程化为，解得：，满足题意；
当时，方程化为，解得：，满足题意；
∴当是等腰三角形时，或5．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程根与判断式的关系，因式分解法解方程，是解题的关键．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)10；
(2)且．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
20．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023春·八年级单元测试）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
22．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；

(1)求与之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
【答案】(1)
(2)该车刹车后秒内向前滑行了米
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入，
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：依题意，， ，，
则
依题意，，
即
解得：或（舍去）
答：该车刹车后秒内向前滑行了米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为或．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．