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专题24.4 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题24.4 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题244弧长扇形的面积圆锥的侧面积之十大考点原卷版docx、专题244弧长扇形的面积圆锥的侧面积之十大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16116" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16116 \h 1
\l "_Tc17480" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc17480 \h 1
\l "_Tc12131" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc12131 \h 3
\l "_Tc25726" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc25726 \h 4
\l "_Tc27348" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc27348 \h 7
\l "_Tc3085" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc3085 \h 8
\l "_Tc23591" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc23591 \h 10
\l "_Tc7995" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc7995 \h 13
\l "_Tc4034" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc4034 \h 16
\l "_Tc21780" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc21780 \h 17
\l "_Tc13277" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc13277 \h 19
\l "_Tc28919" 【过关检测】 PAGEREF _Tc28919 \h 23
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）扇形的圆心角为，半径为，它的弧长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知，如图，的半径为6，正六边形与相切于点C、F，则的长度是 ．
2．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在中，半径，C是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A．cmB．cmC．3cmD．2cm
3．（2023秋·九年级课时练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ）
A．60 平方步B．90 平方步C．120 平方步D．240 平方步
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
7．（2023秋·九年级课时练习）（1）在半径为的圆中，圆心角为的扇形的面积是 ；
（2）已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角是 ．
8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
9．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ．
10．（2023·重庆·九年级统考学业考试）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即的斜边与相切于点）时，发现量角器的中心恰好在三角板的刻度3处（即），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即），则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
11．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的扇形圆心角为，弧长为．
(1)求该圆锥的母线长和底面圆半径；
(2)求该圆锥的全面积．
12．（2023春·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点，点是的中点，连接.
(1)求证：是的切线.
(2)若，，则劣弧的长为______.（结果保留）
13．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，点D在的直径上，弦于点，点为延长线上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，连接，，的半径为2，．
(1)连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)求劣弧的长；
(3)若某时刻，与交于点，求的长．
15．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．
(1)求出：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．
16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．
(1)求证：是的中点；
(2)求证：；
(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16116" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16116 \h 1
\l "_Tc17480" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc17480 \h 1
\l "_Tc12131" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc12131 \h 3
\l "_Tc25726" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc25726 \h 4
\l "_Tc27348" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc27348 \h 7
\l "_Tc3085" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc3085 \h 8
\l "_Tc23591" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc23591 \h 10
\l "_Tc7995" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc7995 \h 13
\l "_Tc4034" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc4034 \h 16
\l "_Tc21780" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc21780 \h 17
\l "_Tc13277" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc13277 \h 19
\l "_Tc28919" 【过关检测】 PAGEREF _Tc28919 \h 23
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）扇形的圆心角为，半径为，它的弧长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知，如图，的半径为6，正六边形与相切于点C、F，则的长度是 ．
2．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在中，半径，C是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A．cmB．cmC．3cmD．2cm
3．（2023秋·九年级课时练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ）
A．60 平方步B．90 平方步C．120 平方步D．240 平方步
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
7．（2023秋·九年级课时练习）（1）在半径为的圆中，圆心角为的扇形的面积是 ；
（2）已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角是 ．
8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）．
9．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ．
10．（2023·重庆·九年级统考学业考试）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即的斜边与相切于点）时，发现量角器的中心恰好在三角板的刻度3处（即），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即），则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
11．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的扇形圆心角为，弧长为．
(1)求该圆锥的母线长和底面圆半径；
(2)求该圆锥的全面积．
12．（2023春·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点，点是的中点，连接.
(1)求证：是的切线.
(2)若，，则劣弧的长为______.（结果保留）
13．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，点D在的直径上，弦于点，点为延长线上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，连接，，的半径为2，．
(1)连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)求劣弧的长；
(3)若某时刻，与交于点，求的长．
15．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．
(1)求出：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．
16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．
(1)求证：是的中点；
(2)求证：；
(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．
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