2023年陕西省咸阳市三原县南郊中学高考数学二模试卷（理科）（含解析）

这是一份2023年陕西省咸阳市三原县南郊中学高考数学二模试卷（理科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z1+i=( )
A. iB. −iC. 2iD. −2i
2.已知全集为R，集合A={x|(12)x≤1}，B={x|x2−6x+8≤0}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|x≤0}B. {x|2≤x≤4}
C. {x|0≤x<2或x>4}D. {x|03.“−3A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数f(x)=x3+2sin2x2|x|的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)=10lgx10−12.若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为( )
A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB
6.安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A. 120种B. 180种C. 240种D. 480种
7.已知f(x)=sinx−acsx的一个极值点为x0，若tanx0=3，则实数a的值为( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
8.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为( )
A. 20πB. 16πC. 12πD. 8π
9.在等比数列{an}中，公比q>0，Sn是数列{an}的前n项和，若a1=2，a2+a3=12，则下列结论正确的是( )
A. q=3B. 数列{Sn+2}是等比数列
C. S5=64D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列
10.若函数f(x)=sinωx2sinπ+ωx2(ω>0)在[−π4,π3]上单调递增，则ω的范围是( )
A. (0,23]B. (0,32]C. (0,2]D. [2,+∞)
11.已知函数f(x)=−lnx+ax2+bx的一个极值点为1，若a，b>0，则2a+1b的最小值为( )
A. 10B. 9C. 8D. 4 2
12.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线交左支交于A，B两点，且|AF1|=2|BF1|，以O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则C的离心率为( )
A. 2B. 173C. 5D. 1+ 52
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量m=(x,1)，n=(−3,2)，若2m+n=(1,4)，则|m|= ______．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=π3，则△ABC的面积为 ．
15.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足MP=2FP，则|NF|= ______．
16.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对∀x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，且f(2)=4，则不等式f(x)x>2的解集为______．
三、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，{bn}为公比大于0的等比数列，且b1=1，b2+b3=6，a3=3，a4+2a6=b5．
(1)求{bn}的通项公式；
(2)记cn=(2an−1)⋅bn+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
如图，平面ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB−AD=2．
(1)求证：GH/​/平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
若椭圆E：x2a2+y2b2=1,(a>b>0)过抛物线x2=4y的焦点，且与双曲线x2−y2=1有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线l：y=x+m与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax2．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，求实数a的值．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+ 32ty=12t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=62+sin2θ．
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点M(2,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．
22.(本小题10分)
已知a>0，b>0，且a+b=2．
(1)证明：252≤(a+2)2+(b+1)2<17；
(2)若不等式|3x+m+1|+|3x−m−1|≥ a+3+ b+3对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z对应的点为(1,−1)，
则z=1−i，
z1+i=z1+i=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及几何意义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的性质与一元二次不等式，考查交、补集的混合运算，属于基础题．
利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得
A∩∁RB.
【解答】
解：∵(12)x≤1=(12)0，
∴x≥0，
∴A={x|x≥0}；
又x2−6x+8≤0⇔(x−2)(x−4)≤0，
∴2≤x≤4．
∴B={x|2≤x≤4}，
∴∁RB={x|x<2或x>4}，
∴A∩(∁RB)={x|0≤x<2或x>4}，
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：方程x2m+3+y23−m=1表示椭圆，
所以m+3>0 3−m>0 3+m≠3−m ，解得−3即m∈(−3,0)∪(0,3)，
所以“−3故选：A．
直接利用不等式的解法和椭圆的方程，及不等式组的解法判断结果．
本题考查的知识要点：椭圆的方程，充分条件和必要条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=x3+2sin2x2|x|，
则f(−x)=(−x)3+2sin(−2x)2|−x|=−x3+2sin2x2|x|=−f(x)，
故f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；
对 f(1)=1+2sin22>0，故可排除选项C．
故选：A．
根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，
则50=10lgx110−12，解得：x1=10−7，
则火箭发射时的声强为109×10−7=102，将其代入d(x)=10lgx10−12中，得：d(102)=10lg10210−12=140dB，
故火箭发射时的声强级约为140dB．
故选：B．
设人交谈时的声强为x1，从而得到x1=10−7，求出火箭发射时的声强为109×10−7=102，代入解析式求出答案．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①、先将5项工作分成4组，有C52=10种分组方法，
②、将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有A44=24种情况，
则有10×24=240种不同的安排方式；
故选：C．
根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=sinx−acsx，
∴f′(x)=csx+asinx，
∵f(x)=sinx−acsx的一个极值点为x0，
∴f′(x0)=csx0+asinx0=0，
可得tanx0=sinx0csx0=3=−1a，故a=−13．
故选：B．
求得其导函数，根据导函数值为0，即可求解结论．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设截面圆半径为r，球的半径为R，
则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，
根据截面圆的周长可得2π=2πr，则r=1，
由题意知R2=r2+22，即R2=12+22=5，
∴该球的表面积为4πR2=20π．
故选：A．
设截面圆半径为r，球的半径为R，根据截面圆的周长求得r=1，再利用R2=r2+22求解．
本题考查了球的表面积的计算，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：a1=2，a2+a3=12，
则2q+2q2=12，解得q=2或q=−3(舍去)，故A错误；
Sn=a1(1−qn)1−q=2(1−2n)1−2=2(2n−1)=2n+1−2，
则Sn+2=2n+1，
故{Sn+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列，故B正确；
S5=2×(1−25)1−2=62，故C错误；
an=2×2n−1=2n，
则lgan=lg2n=nlg2，
故lgan+1−lgan=(n+1)lg2−nlg2=lg2，
所以{lgan}是以lg2为公差的等差数列，故D错误．
故选：B．
根据已知条件，结合等比数列的性质，先求出公比q，再结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键，比较基础．
利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
解：f(x)=sinωx2sinπ+ωx2=sinωx2csωx2=12sin(ωx)，
x∈[−π4,π3]，则ωx∈[−π4ω,π3ω]，
由[−π4,π3]上单调递增，则[−π4ω,π3ω]⊆[−π2,π2]
∴π3ω≤π2且−π4ω⩾−π2，得0<ω≤32，
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=−lnx+ax2+bx(x>0)，
∴f′(x)=−1x+2ax+b，
∵函数f(x)=−lnx+ax2+bx的一个极值点为1，
∴f′(1)=−1+2a+b=0，即2a+b=1，又a，b>0，
∴2a+1b=(2a+1b)(2a+b)=4+1+2ba+2ab
≥5+2 2ba⋅2ab=9(当且仅当2ba=2ab，a=b=13时取等号)，
即当a>0，b>0时，2a+1b的最小值为9，
故选：B．
依题意，f′(1)=0⇒2a+b=1，其中a，b>0，再利用基本不等式求出2a+1b的最小值．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：因为F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线交左支交于A，B两点，且|AF1|=2|BF1|，以O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，得∠F1BF2=90°，
设|BF1|=m，则|BF2|=m+2a，|AF1|=2m，|AF2|=2m+2a，|AB|=3m，
在Rt△ABF2中，由勾股定理得(2a+m)2+(3m)2=(2m+2a)2，解得m=23a，
则|BF1|=2a3，|BF2|=8a3，
在Rt△F1BF2中，由勾股定理得(23a)2+(83a)2=(2c)2，化简得c2=179a2，
所以C的离心率e=ca= 173，
故选：B．
由以F1F2为直径的圆经过点B，可得∠F1BF2=90°，结合双曲线的性质和勾股定理，再结合离心率公式，即可求解．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：m=(x,1)，n=(−3,2)，
则2m+n=(2x−3,4)，
2m+n=(1,4)，
则2x−3=1，解得x=2，
故m=(2,1)，
|m|= 22+12= 5．
故答案为： 5．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
14.【答案】6 3
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式S△ABC=12acsinB=c2sinB求出结果即可．
【解答】
解：由余弦定理有b2=a2+c2−2accsB，
∵b=6，a=2c，B=π3，
∴36=(2c)2+c2−4c2csπ3，
∴c2=12，
∴S△ABC=12acsinB=c2sinB=6 3．
故答案为6 3．
15.【答案】43
【解析】解：抛物线C：y2=4x，则p2=1，准线方程为x=−1，
由于MP=2FP，所以F是MP的中点，
设P(−1,t)，而F(1,0)，所以M(3,−t)，
将M点坐标代入抛物线方程得t2=12，不妨设t=2 3，则M(3,−2 3)．
设N(y024,y0)，由于M，N，F三点共线，
所以y02−0y024−1=−2 3−03−1，整理得 3y02+4y0−4 3=0，
解得y0=2 3,(y0=−2 3舍去)，所以N(13,2 3)，
所以|NF|=13+1=43．
故答案为：43．
依次求得M，N的坐标，根据抛物线的定义求得|NF|．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
16.【答案】(2,+∞)
【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，
因为对∀x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，
不妨设x1>x2>0，则g(x1)−g(x2)=f(x1)x1−f(x2)x2=x2f(x1)−x1f(x2)x1x2，
因为x1>x2>0，所以x1−x2>0，x1x2>0，x2f(x1)−x1f(x2)>0，
所以g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，
所以g(x)在(0,+∞)上是单调增函数；
又因为f(2)=4，所以g(2)=f(2)2=2，
所以不等式f(x)x>2可化为g(x)>g(2)，即x>2；
所以不等式f(x)x>2的解集为(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
构造函数g(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，判断g(x)在(0,+∞)上的单调性，把不等式f(x)x>2化为g(x)>g(2)，利用函数的单调性求出x的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求不等式的应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
由题设可得：b1(q+q2)=6a3+d+2(a3+3d)=b1q4，
即q+q2=63+d+2(3+3d)=q4，解得：q=2d=1，
∴bn=2n−1，an=a3+(n−3)d=3+n−3=n；
(2)由(1)可得：cn=(2n−1)⋅2n，
∴Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n−1)⋅2n，
又2Sn=1×22+3×23+…+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，
两式相减得：−Sn=2+2(22+23+…+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×22(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1，
整理得：Sn=(2n−3)⋅2n+1+6．
【解析】(1)由题设求得等差数列{an}的公差d与等比数列{bn}的公比q，即可求得an与bn；
(2)先由(1)求得cn，再利用错位相减法求得其前n项和即可．
本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：由题意知，CD/​/AB，CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，∴AB/​/平面CDE，
∵AF∩DE=G，BF∩CE=H，∴平面CDE∩平面CDE=GH，
∵AB⊂平面ABF，∴AB/​/GH，又AB⊂平面ABF=GH，
∵AB⊂平面ABF，∴AB/​/GH，
∵AB⊂平面ABCD，GH⊄平面ABCD，
∴GH/​/平面ABCD．
(2)以点E为原点，建立如图所求的空间直角坐标系，

在Rt△ABE中，由∠ABF=60°，AB=AD=2，得AE= 3，BE=1，
∴E(0,0,0)，A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D( 3,0,2)，F(0,0,2)，
∴EC=(0,1,2)，ED=( 3,0,2)，AF=(− 3,0,2)，BF=(0,−1,2)，
设平面CDE的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅EC=y+2z=0m⋅ED= 3x+2z=0，取z= 3，得m=(−2,−2 3, 3)，
设平面ABF的一个法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅AF=− 3a+2c=0n⋅BF=−b+2c=0，令c= 3，得n=(2,2 3, 3)，
则|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=13 19⋅ 19=1319，
∴平面ABF与平面CDE的夹角的余弦值为1319．
【解析】(1)由线面平行的判定定理得AB/​/平面CDE，再由线面平行的性质定理可得AB/​/GH，再由线面平行的判定定理能证明GH/​/平面ABCD；
(2)以E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABF与平面CDE的夹角的余弦值．
本题考查线面平行的判定定理、性质定理、二面角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，所以b=1，
因为双曲线x2−y2=1的焦点坐标为(− 2,0),( 2,0)，
所以a2−b2=2则a2=3，
所以椭圆E的方程为x23+y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x23+y2=1y=x+m可得4x2+6mx+3m2−3=0，
因为直线l：y=x+m与椭圆E交于A、B两点，
所以Δ=36m2−16(3m2−3)>0，解得m2<4，
由韦达定理可得x1+x2=−3m2,x1x2=3m2−34，
由弦长公式可得|AB|= 2⋅ (−3m2)2−4⋅3m2−34= 22 12−3m2，
点O到直线l的距离为d=|m| 2，
所以S△OAB=12⋅d⋅|AB|=12× 22×|m|× 22× 12−3m2=14× −3(m2−2)2+12≤ 32，
当且仅当m2=2即m=± 2时取得等号，
所以△ABC面积的最大值为 32，此时直线l的方程为y=x± 2．
【解析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的a，b，c的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长|AB|，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=ex−ax2，∴f′(x)=ex−2ax，
则f(0)=1，f′(0)=1.即切点坐标为(0,1)，切线斜率k=1，
∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=x−0，即x−y+1=0．
(2)∵f(x)=ex−ax2，f′(x)=ex−2ax，
则当a≤0，则f′(x)=ex−2ax>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)>f(0)=1>0，
即f(x)在(0,+∞)无零点，不合题意，舍去；
当a>0，令φ(x)=f′(x)，
则φ′(x)=ex−2a在(0,+∞)上单调递增，则φ′(x)>φ′(0)=1−2a，
令g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
则g(x)在(0,+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=0，
故ex>x+1在x∈(0,+∞)上恒成立，
∴φ′(a+ln2)=2(ea−a)>2(a+1−a)=2>0，
(ⅰ)当1−2a≥0，即0则函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增，则φ(x)>φ(0)=1>0，
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)>f(0)=1>0，
即f(x)在(0,+∞)无零点，不合题意，舍去；
(ⅱ)当1−2a<0，即a>12时，则函数φ(x)在(0,+∞)存在唯一的零点x0，
可得：当0x0时，φ′(x)>0，
故函数φ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
则φ(x)≥φ(x0)=ex0−2ax0，
∵φ′(x0)=ex0−2a=0，即2a=ex0>x0，
∴φ(x0)=ex0−2ax0=ex0(1−x0)，
①当1−x0≥0，即0故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)>f(0)=1>0，
即函数f(x)在(0,+∞)无零点，不合题意，舍去；
②当1−x0<0，即x0>1,a>e2时，
结合①可得：若a=1时，f(x)=ex−x2>0在(0,+∞)上恒成立，
故φ(x0)<0,φ(0)=1>0,φ(2a)=e2a−(2a)2>0，
故φ(x)在(0,+∞)内有两个零点，不妨设为x1，x2(0则当0x2时，φ(x)>0，当x1故函数f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，
若函数f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，且f(0)=1>0，
∴f(x2)=ex2−ax22=0，
又∵φ(x2)=ex2−2ax2=0，即a=ex22x2，
∴ex2−ex22x2×x22=0，解得x2=2，
故a=e24；
综上，a=e24．
【解析】(1)对f(x)求导，根据导数的几何意义求解即可；
(2)分a≤0和a>0两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
21.【答案】解：(1)直线l的参数方程为x=2+ 32ty=12t(t为参数)，转换为普通方程为x− 3y−2=0；
曲线C的极坐标方程为ρ2=62+sin2θ，根据x=ρcsθy=ρsinθx2+y2=ρ2，转换为直角坐标方程为x23+y22=1．
(2)把直线l的参数方程x=2+ 32ty=12t(t为参数)代入曲线的直角坐标方程x23+y22=1，
可得：9t2+16 3t+8=0，设A，B两交点对应的参数为t1，t2，
∴t1+t2=−16 39，t1t2=89，(t1和t2为负值)，
∴1|MA|+1|MB|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2||t1t2|=16 39×98=2 3．
【解析】(1)消去参数t即可得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化关系即可得解；
(2)将直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程得参数的一元二次方程，最后利用直线l的标准参数方程中参数的几何意义即可求解．
本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的标准参数方程中参数的几何意义，属中档题．
22.【答案】证明：(1)∵a+b=2，则b=2−a>0，
可得0∴(a+2)2+(b+1)2=(a+2)2+(3−a)2=2(a−12)2+252，
又∵y=2(a−12)2+252开口向上，对称轴为a=12，
∴当a=12时，2(a−12)2+252=252，当a=2时，2(a−12)2+252=17，
故252≤(a+2)2+(b+1)2<17；
(2)∵( a+3+ b+3)2≤2[( a+3)2+( b+3)2]=2(a+b+6)=16，当且仅当 a+3= b+3，即a=b=1时等号成立；
∴ a+3+ b+3≤4，
又∵|3x+m+1|+|3x−m−1|≥|(3x+m+1)−(3x−m−1)|=2|m+1|，当且仅当(3x+m+1)(3x−m−1)≤0时等号成立，
∴2|m+1|≥4，解得m≥1或m≤−3，
故m的取值范围为(−∞,−3]∪[1,+∞)．
【解析】(1)根据题意可得b=2−a(0(2)根据题意分析可得(|3x+m+1|+|3x−m−1|)min≥( a+3+ b+3)max，结合|a−b|≤|a|+|b|和2(a2+b2)≥(a+b)2运算求解．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．