2023-2024学年山东省临沂市临沭县石门中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市临沭县石门中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. 2y=3x+2B. 3x2−1=2xC. 2x2−1=1xD. x+3=1
2.方程2x2=3(x−6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 2，3，−6B. 2，−3，18C. 2，−3，6D. 2，3，6
3.已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
5.一元二次方程x2−5x−9=0的根的情况为( )
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
6.若方程3x2−4x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=( )
A. −4B. 3C. −43D. 43
7.若y=(m−1)xm2+1−2mx+1是二次函数，则m的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
8.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )
A. y=x2+3B. y=x2+1C. y=(x+1)2+2D. y=(x−1)2+2
9.对于二次函数y=x2的图象，下列说法不正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴为y轴
C. 顶点坐标是(0,0)D. 若x<0时，y随x增大而减小
10.下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是( )
A. y=x2B. y=−23x2C. y=13x2D. y=− 3x2
11.“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有m名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是( )
A. m(m−1)=45B. m(m+1)=45C. 12m(m−1)=45D. 12m(m+1)=45
12.已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)三点都在抛物线y=2x2−3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若(a−1)x2+3ax−1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是______．
14.一元二次方程(x−2)(x+3)=0的两个实数根是______．
15.已知二次函数y=x2，当x>0时，y随x的增大而_____(填“增大”或“减小”)．
16.将抛物线y=(x−3)2向左平移4个单位长度得到的新抛物线的解析式为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解下列方程：
(1)5x2−20=0．
(2)(x−3)(x+1)=x−3．
18.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+2x−7．
(1)当x=−1时，求函数y的值．
(2)当x取何值时，函数y的值为8？
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程2x2−4x+k=0有两个相等的实数根，求k的值和方程的根．
20.(本小题10分)
已知x=1，x=−3都是方程ax2+bx−3=0的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
21.(本小题10分)
某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
22.(本小题12分)
某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元，当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏.市场调研表明：销售单价每下降1元，平均每月的销售量就增加10盏.当销售单价下降多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、该方程是分式方程，不是整式方程，故此选项不符合题意；
D、该方程未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】B
【解析】解：方程2x2=3(x−6)，
去括号，得2x2=3x−18，
整理，得2x2−3x+18=0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，−3，18，
故选B．
要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】A
【解析】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32−3k−6=0成立，解得k=1．
故选：A．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
4.【答案】C
【解析】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5.【答案】D
【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×(−9)=61>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵方程3x2−4x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−ba=43
故选：D．
由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=43”，由此即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=−ba=43”.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据二次函数的定义得：m2+1=2且m−1≠0，
由m2+1=2解得：m=±1，由m−1≠0解得：m≠1，
∴m=−1．
故答案为：B．
根据二次函数的定义得：m2+1=2且m−1≠0，由此即可求出m的值．
此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2−1，即y=x2+1．
故选：B．
根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．
9.【答案】A
【解析】【分析】
根据二次函数的性质可对A、B、C、D进行判断．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
【解答】
解：∵y=x2，
∴抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小，故B、C、D正确，
故选A．
10.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．
本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴二次项系数小于0，
∵|−23|<|− 3|，
∴y=−23x2的开口更大．
故选：B．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意得：12m(m−1)=45．
故选：C．
利用握手的总次数=参赛运动员人数×(参赛运动员人数−1)÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵二次函数的解析式为yy=2x2−3，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)，
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
∴y2故选C．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
13.【答案】a≠1
【解析】解：∵(a−1)x2+3ax−1=0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1．
根据一元二次方程的定义和已知条件得出a−1≠0，再求出答案即可．
本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
14.【答案】2和−3
【解析】解：(x−2)(x+3)=0，
x−2=0或x+3=0，
解得x1=2，x2=−3．
∴一元二次方程(x−2)(x+3)=0的两个实数根是2和−3．
故答案为：2和−3．
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
15.【答案】增大
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，此题难度不大．
根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．
【解答】
解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而增大．
故答案为增大．
16.【答案】y=(x+1)2
【解析】解：将抛物线y=(x−3)2向左平移4个单位长度得到的新抛物线的解析式为：y=(x−3+4)2.即y=(x+1)2．
故答案为：y=(x+1)2．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
17.【答案】解：(1)5x2−20=0，
5x2=20，
x2=4，
x=± 4=±2，
所以x1=2，x2=−2；
(2)(x−3)(x+1)−(x−3)=0，
(x−3)(x+1−1)=0，
x−3=0或x+1−1=0，
所以x1=3，x2=0．
【解析】(1)先移项，再利用直接开方法求解即可；
(2)先移项得到(x−3)(x+1)−(x−3)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法解一元二次方程．
18.【答案】解：(1)当x=−1时，y=(−1)2+2×(−1)−7=−8；
(2)当y=8时，则8=x2+2x−7，解得x1=−5，x2=3，
∴当x=−5或x=3时，函数值为8．
【解析】(1)把x=−1代入二次函数y=x2+2x−7，求出y的值即可；
(2)把y=8代入二次函数y=x2+2x−7，求出x的值即可．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点．
19.【答案】解：根据题意得Δ=(−4)2−4×2k=0，
解得k=2，
此时方程为2x2−4x+2=0，
即x2−2x+1=0，
(x−1)2=0，
解得x1=x2=1．
【解析】先根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×2k=0，则解关于k的方程得到k的值，此时方程为2x2−4x+2=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
20.【答案】解：把x=1，x=−3分别代入方程ax2+bx−3=0得：
a+b−3=09a−3b−3=0，方程组化简得：a+b=3①3a−b=1②，
①+②得：a=1，
把a=1代入①得：b=2，
∴a=1b=2，这个一元二次方程的一般形式为：x2+2x−3=0．
【解析】根据一元二次方程解的定义，把x=1，x=−3分别代入方程ax2+bx−3=0得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再把a，b代入原方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和一元二次方程的一般形式．
21.【答案】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2=43，
整理得：x2+x−42=0，
解得：x1=−7(不合题意，舍去)，x2=6．
答：这种植物每个支干长出的小分支个数为6．
【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：设销售单价下降x元，则每盏台灯的销售利润为(400−x−300)元，平均每月的销售量为(300+10x)盏，
根据题意得：(400−x−300)(300+10x)=40000，
整理得：x2−70x+1000=0，
解得：x1=20，x2=50．
答：当销售单价下降20元或50元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元．
【解析】设销售单价下降x元，则每盏的销售利润为(400−x−300)元，平均每月的销售量为(300+10x)盏，利用总利润=每盏台灯的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12(5−x)×2x=4，
整理得：x2−5x+4=0，
解得：x=1或x=4(舍去)．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
(2)PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=(5−t)2+(2t)2，t=0(舍)或2．
答：2秒后，PQ的长度为5cm．
【解析】(1)经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
(2)利用勾股定理列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．