2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共18页。试卷主要包含了试卷共4页，另有答题纸2页．， 有一种空心钢球，质量为140等内容，欢迎下载使用。

1.试卷共4页，另有答题纸2页．
2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．
1. 函数的定义域是____________．
2. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．
3. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．
4. 16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．
表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）
小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）
5. 已知函数，则函数的导数____________．
6. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．
7. 有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．
8. 、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）
①
②
③
④
9. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）
10. 已知全集为实数集R，集合，N=，则=____________．
11. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．
12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知数列是等差数列，，，则（ ）
A. 120B. 96C. 72D. 48
14. 若实数xy满足，则（ ）成立．
A. B.
C. D. .
15. 在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A. 若，则二项展开式中系数最大的项是．
B. 已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C. 若，则二项展开式中常数项是．
D. 若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知数列满足：，，，对一切正整数成立．
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）求数列的前项之和．
18. 平面向量，函数.
（1）求函数y=的最小正周期；
（2）若，求y=的值域；
（3）在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
19. 如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．
（1）求证：面ABCE；
（2）求AC与面PAB所成角的正弦值．
20. 已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．
（1）求证：直线平分线段；
（2）如图，设椭圆外一点在直线上，点横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．
21 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
（1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
（2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
（3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．
2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷
考生注意：
1.试卷共4页，另有答题纸2页．
2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．
1. 函数的定义域是____________．
【答案】
分析】由可得答案.
【详解】，则，.
故答案为：
2. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先由复数的除法运算计算出，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.
【详解】，
∴复数在复平面内对应的点为，
由已知，在第二象限，
∴，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
3. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．
【答案】##
【分析】由两直线平行，可求得的值，再利用平行线间距离公式求解.
【详解】由直线与直线平行，
可知，即，
故直线为，
直线变形得，
故，
故答案为：.
4. 16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．
表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）
小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）
【答案】
【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的百分位数，由百分位数的定义计算可得答案.
【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重50kg，
由图表可知，小王体重的百分位数是，
所以体重一定高于她的体重的人数有(万)
故答案为：
5. 已知函数，则函数的导数____________．
【答案】
【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.
【详解】.
故答案：.
6. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．
【答案】0.3##
【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.
【详解】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种，
能搭成一个三角形的概率 ；
故答案为： .
7. 有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．
【答案】4.5
【分析】设空心钢球的内直径为，表示空心钢球的体积，由条件列方程求即可.
【详解】设空心钢球的内直径为，则空心钢球的体积为，
因为空心钢球的质量为140.2g，钢的密度是7.9g/cm3，
所以，所以，
解得，所以，
故答案为：.
8. 、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）
①
②
③
④
【答案】②③
【分析】根据事件的独立性定义判断即可.
【详解】①，故①不一定成立；
②③由事件的独立性定义可得与，与相互独立，所以，，故②③正确；
④，故④不一定成立.
故答案为：②③.
9. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）
【答案】240
【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.
【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有.
故答案为：240.
10. 已知全集为实数集R，集合，N=，则=____________．
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到，，，然后求交集即可.
【详解】不等式可整理为，所以，解得，所以，或，
不等式可整理为，所以，即，解得或，所以或，.
故答案为：.
11. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．
【答案】 ①. 五 ②.
【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；
利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.
【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限.
由已知可得，，所以
故答案为：五；
12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.
【详解】函数导函数为.
当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意.
当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0.
令，解得：或.
列表：
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：；
当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0.
.
令，解得：或.
列表：
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知数列是等差数列，，，则（ ）
A. 120B. 96C. 72D. 48
【答案】A
【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果.
【详解】因为是等差数列，，
所以，即，
所以.
故选：A
14. 若实数x,y满足，则（ ）成立．
A. B.
C. D. .
【答案】B
【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.
【详解】由 和基本不等式 （当 时等号成立），
，当 时，有 ，当 时， ，A错误；
由 （当 同号时等号成立）得： ，
，B正确；
， （当 时等号成立） ，
，C，D错误；
故选：B.
15. 在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A. 若，则二项展开式中系数最大的项是．
B. 已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C. 若，则二项展开式中的常数项是．
D. 若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
【答案】D
【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.
【详解】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
故选：D.
16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.
【详解】
如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知数列满足：，，，对一切正整数成立．
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）求数列的前项之和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.
【小问1详解】
证明：∵，∴，
∵，对一切正整数成立，∴，
即． ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
小问2详解】
由(1)知，，
∴
,
当n=1时，满足上式，
综上所述，.
设数列的前项之和为，则=．
18. 平面向量，函数.
（1）求函数y=的最小正周期；
（2）若，求y=的值域；
（3）在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【小问1详解】
，
所以，
最小正周期为.
【小问2详解】
设，，，
在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．
【小问3详解】
，即，
因为为三角形内角，所以．
，即，解得.
所以△的面积为.
19. 如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．
（1）求证：面ABCE；
（2）求AC与面PAB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）取的中点，连，，证明，，得到面，从而证明，然后可得面；
（2）作交于，则，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.
【小问1详解】
由题意，可得，，则，
取BC的中点F，连OF，，可得，所以，
因为，，且，所以平面，
又因为平面，所以．
又由BC与AE相交直线，所以平面．
【小问2详解】
作交于，则
如图建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则，所以可取，
所以与面所成角的正弦值.
20. 已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．
（1）求证：直线平分线段；
（2）如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由离心率，将，均用表示，求出直线的方程，与椭圆方程联立求得点坐标，即可得到直线的方程，根据椭圆的对称性，求出点的坐标，再证出中点在直线上即可；
（2）设，和，用线段定比分点坐标公式将，坐标表示出来，并代入 ，结合的横坐标为和，在椭圆上，进行运算证明即可.
【小问1详解】
由题意，，则，，∴，
∴椭圆方程为，即，
∴直线的斜率，直线的方程为，
联立消去，化简得，解得，，
即点的横坐标为，代入直线的方程，得，
∴直线的斜率，直线的方程为，
∵，∴由椭圆的对称性知，
又∵，∴线段AC的中点坐标为，
∵，∴线段AC的中点在直线：上，
即直线平分线段.
【小问2详解】
设过点的直线与椭圆交于两个不同点的坐标为，，
∵，在椭圆上，∴，
∵，∴设，易知，且，
则由已知，有，，
∴由线段定比分点坐标公式，有，，
∵点的横坐标为常数（），
∴，
又∵点在直线：上，∴，∴，
将代入，得
，
即点在直线上.
【点睛】本题的两问证明，实质上都是证明点在直线上，第（1）问证明中点在直线上，即可证明直线平分线段，第（2）问设，由线段定比分点坐标公式求得的坐标，即可结合，，的坐标，证明点在直线上.
21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
（1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
（2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
（3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；
（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；
（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【小问1详解】
若是函数的驻点，则，可得，即得．
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
当时，令，可得或，
①当，即时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或，
令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
③当，即时，令，得或；令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问3详解】
由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得，
当时，，当时，，
∴函数在上严格递增，在上严格递减，
∴函数在端点或处取得最小值．
∵，∴，
∴，∴，
因此，实数的取值范围是
【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：
（1）存在；
（2）存在.P1
P5
P10
P25
P50
P75
P90
P95
P99
男
40.1
45.1
47.9
51.5
56.7
63.7
72.4
80.4
95.5
女
38.3
41.2
43.1
46.5
50.5
55.3
61.1
65.4
756
P1
P5
P10
P25
P50
P75
P90
P95
P99
男
40.1
45.1
47.9
51.5
56.7
63.7
72.4
80.4
95.5
女
38.3
41.2
43.1
46.5
50.5
55.3
61.1
65.4
75.6
0
+
0
-
0
+
单增
极大值
单减
极小值
单增
0
-
0
+
0
-
单减
极小值
单增
极大值
单减