2023年上海市青浦区高三高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市青浦区高三高考一模数学试卷含详解，共20页。试卷主要包含了 不等式的解集为______．等内容，欢迎下载使用。

1. 集合，则___________.
2. 若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数________．
3. 从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．
4. 不等式的解集为______．
5. 在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是_______.
6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.
7. 若展开式的常数项是，则常数的值为__________．
8. 若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______．
9. 已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．
10. 在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．
11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为______．
12. 已知数列中，，记的前项和为，且满足．若对任意，都有，则首项的取值范围是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知为非零实数，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）．
A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线
B. 若，平行于同一平面，则与可能异面
C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
D. 若，垂直于同一平面，则与可能相交
15. 已知函数定义域为，下列论断：
①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数．
②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数．
③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则是周期函数．
其中正确的论断的个数是（ ）．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
16. 在直角坐标平面xOy中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（ ）．
A. 16B. C. 8D.
三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤．
17. 已知函数，．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
18. 如图，在正三棱柱中，分别为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
19. 流行性感冒是由流感病毒引起急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
21. 设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
（1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
（2）设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
（3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件和，若不存在，说明理由．
高三年级数学练习卷
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 集合，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以.
故答案为：.
2. 若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用已知条件可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为，由已知可得，解得.
故答案为：.
3. 从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．
【答案】23
【解析】
【分析】
根据数列的前几项得出等差数列的首项与公差，求出数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为，公差为，所以该数列的通项公式为，令，得，所以该数列从第23项开始，以后各项均为负值.
故答案为：23
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，属于基础题.
4. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.
【详解】函数在R上单调递增，则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
5. 在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：该组数据的平均数为，所以方差是
考点：方差
6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以在点切线的斜率为，
所以在点处的切线的倾斜角为.
故答案为：.
7. 若的展开式的常数项是，则常数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于45得解．
【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，
可得它的常数项为，，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8. 若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定函数的个数，再求出满足的函数个数即可计算作答.
【详解】因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是：
；；；
；；，
满足的函数有2个数，它们是或，
因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是.
故答案为：
9. 已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】依题意，，，
，而，则，
所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.
故答案为：
10. 在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答.
【详解】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上，
连，而，，，，因此，
而，即，有，于是得，
直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为，
于是得点，令直线交于点，，，，
所以.
故答案为：
11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，即可在直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球的体积．
【详解】由于AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，
如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，
由外接球的定义，，易得在线段上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，
，则，解得，
外接球体积为．
故答案为：.
12. 已知数列中，，记的前项和为，且满足．若对任意，都有，则首项的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.
【详解】，，有，
于是得，有，因此，
数列分别是以为首项，6为公差的等差数列，
而，，即有，解得，
又，则有，
于是得，，
因对任意，都有，则，，
从而得，解得，
所以首项的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】当时，，所以由得不出，
若即，若，则，即，
所以由得不出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
14. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）．
A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线
B 若，平行于同一平面，则与可能异面
C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
D. 若，垂直于同一平面，则与可能相交
【答案】A
【解析】
【分析】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B，D；利用反证法推理说明C作答.
【详解】对于A，因，不平行，令，直线，若，必有，A不正确；
对于B，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于，
把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，B正确；
对于C，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，C正确；
对于D，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，D正确.
故选：A
15. 已知函数定义域为，下列论断：
①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数．
②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数．
③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则是周期函数．
其中正确论断的个数是（ ）．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，单调性和周期性逐一分判断即可.
【详解】解：对于①，由题意对任意实数，存在实数，使得，
即对于任意实数，都有，
所以函数为偶函数，故①正确；
对于②，对任意实数，存在实数，使得，且，
无法判断出函数的单调性，如函数，故②错误；
对于③，常数，且，则，，
因为对任意实数，存在实数，使得，
则，即或，
这两种情况可以同时成立，
所以函数不是周期函数，如，故③错误.
故选：B.
16. 在直角坐标平面xOy中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（ ）．
A. 16B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线的方程为，由题可得，当时，确定直线的轨迹；当时，确定直线的轨迹；即可得平面上不在任何一条直线上的点组成的图形，则面积可求得.
【详解】解：设直线的方程为，两定点与，
由于，到直线的距离之差的绝对值等于，则，
所以
当时，即时，有，平方整理得，所以，如下图：
此时正方形上及外部的点均在直线上；
当时，即时，有，平方整理得，
记为直线上一点，所以，则，
所以，则在圆的外部的点亦在直线上；
综上，平面上不在任何一条直线上的点组成的图形为圆内部的所有点，
故面积为.
故选：D.
三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤．
17. 已知函数，．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1），
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数性质求解作答.
【小问1详解】
，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，则，
所以当，即时，取最大值，为，
当，即时，取最小值，．
18. 如图，在正三棱柱中，分别为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）平面；（2）平面平面．
【解析】
【详解】试题分析：(1)运用线面平行的判定定理推证；(2)先证线面垂直,再运用面面垂直的判定定理推证.
试题解析：
（1）连交于点，∵为中点，
∴且，
∵为中点，∴且，
∴且，∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，
平面，∴平面.
（2）由（1）知，∵，
为中点，所以，所以，
又因为底面，而底面，所以，
则由，得，
而，平面，且，
所以面，又平面，
所以平面平面.
考点：线面平行和垂直及面面垂直的判定等知识的综合运用．
19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【解析】
【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；
（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为，
又，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，.
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即
解得或(舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
【答案】（1），离心率
（2）证明见解析，定点坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率；
（2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，斜率均存在，设，直线AB方程为，联立方程利用韦达定理求得，从而可求得点的坐标，再将换为，可得点的坐标，从而可求得直线的方程，即可得证；
（3）由（2）可知直线MN过定点，则，化简整理结合函数的单调性即可得出答案.
【小问1详解】
解：由椭圆方程可知：，，所以
右焦点坐标，该椭圆的离心率；
【小问2详解】
证明：斜率均存，
设，直线AB方程为，
则，
联立，
则有，
将上式中换为，可得，
若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，
下证动直线MN过定点，
若直线MN斜率存在，则，
直线MN方程为，
令得，所以此时直线MN也过定点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，
此时，
则直线的方程为，过点，
综上，动直线MN过定点；
【小问3详解】
解：由（2）可知直线MN过定点，
，
令，
，
因为，所以在上递减，
所以时，取得最大值，此时.
【点睛】本题考查了椭圆中直线过定点及椭圆中三角形的面积问题，计算量较大，考查了了分类讨论思想及数据分析和计算能力，属于难题.
21. 设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
（1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
（2）设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
（3）是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，；
（3）存在，满足条件.
【解析】
【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.
（2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.
（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.
【小问1详解】
依题意，，，，，
，因此，，即，
所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，求导得，显然函数单调，当时，有唯一零点，
当时，，当时，，因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意，
即，方程两边同时加上得，即，
所以点在一定直线上，该直线方程为.
【小问3详解】
当，时，方程无解，因此要使，必有,
①当时，，即，解得，
而当时，时，，函数单调递减，无极值点，
严格递减，无极值点，且，当时，，当时，，
在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点，
又，则恒成立，有单调递减，无极值点，
综上得存在，满足条件，
②当时，，即，解得或，
当时，，不符合题意，
当时，，解得，有，
单调递减，当时，，当，，当时，，
在上严格递增，在上严格递减，而，，
则存在，使得，在上，，在上，在上，，
则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两个极值点，不符合题意，因此，
所以存在，满足条件．
【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同．