2023年上海市松江区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市松江区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1. 已知集合，，则______
2. 函数的最小正周期为______
3. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________．
4. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
5. 已知函数为奇函数，则实数______
6. 已知圆锥母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为______（结果中保留）.
7. 已知向量，则在上投影向量的坐标为________．
8. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
9. 已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______
10. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______
11. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______
12. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13. 下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
14. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D.
16. 已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（共78分）
17. 已知平面，
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
18. 在三角形中，内角，，所对边分别，，，已知；
（1）求角的大小；
（2）若，三角形面积为，求三角形的周长；
19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；
（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？
20. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，
（1）求椭圆方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；
21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
2023届松江区一模
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）
1. 已知集合，，则______
【答案】
【分析】根据集合的交集运算即可得到结果.
【详解】因为集合，，则
故答案为:
2. 函数的最小正周期为______
【答案】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
3. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________．
【答案】
【分析】
根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.
【详解】与互为共轭复数，,
.
故答案为：.
【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.
4. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
5. 已知函数为奇函数，则实数______
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.
【详解】若函数为奇函数，则，
即，解得：，
故答案为：1.
6. 已知圆锥母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为______（结果中保留）.
【答案】
【分析】根据圆锥侧面积公式求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，，
圆锥的高，
圆锥的体积.
故答案为:
7. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
【详解】解：向量，，
在上的投影向量的坐标为：，．
故答案为：，．
8. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】.
【分析】由 得的最小值，转化为解关于a的一元二次不等式.
【详解】由题意知，，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： .
9. 已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，对数函数的值域以及集合间的包含关系即可求解.
【详解】由得，即，
所以，解得.
所以.
因为，
所以，
所以，
因为，所以解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
10. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______
【答案】
【分析】根据是的角平分线，，推出，，结合以及双曲线的定义推出，再根据推出，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】因为是的角平分线，，
所以是等腰三角形，，为的中点，
又为的中点，所以是的中位线，
所以，因为，
当点在双曲线的右支上时，，
当点在双曲线的左支上时，，
所以，即，
所以，
所以，
所以双曲线渐近线方程为.
故答案为：.
11. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______
【答案】
【分析】根据题意知，分情况解决即可.
【详解】由题意，此问题的实质是以为球心，为半径的球，
因为，
所以在正方体各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：
为过球心的截面，
截痕为大圆弧，各弧圆心角为，
为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为，
所以这条曲线长度为，
故答案为：
12. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______
【答案】 ①. ②.
【分析】先由题给条件求得，再利用即可求得；先利用裂项相消法求得，再列不等式组，即可求得整数的值.
【详解】正项数列，为严格增数列，
则，则，解之得
又，则，则
由，可得
由可得
，则，则
又当时，，则
由可得，，
又，则，
解之得，则整数
故答案为：；
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13. 下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解.
【详解】当时，满足，不满足；当时，满足，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
因为，所以是成立的充要条件，所以B正确；
当时，，，；当时，满足，但不满足，所以是的必要不充分条件，所以C不正确；
当时，；当时，满足，但不满足，所以是的充分不必要条件，所以D不正确.
故选：B
14. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A、B、D项，即可求解.
详解】由题意，函数，
因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；
又因为，可排除D项，
故选：C.
15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D.
【答案】A
【分析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
16. 已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】在平面直角坐标系中作出函数的图像，作出直线，由图像知只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论．
【详解】作出函数的图像，如图，
作出直线，它过定点，由图可得，只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），
时，与轴的公共点为，，
时，，
由得，
，解得或，由图像知，切线的斜率为，
所以时满足题意．
故选：A．
三、解答题（共78分）
17. 已知平面，
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.
（2）证明即为直线与平面所成的角，然后解三角形即可求得该角大小.
【小问1详解】
∵平面，平面,∴ ，
又∵且平面 ，
∴平面，∵平面,
∴平面平面．
【小问2详解】
∵平面, 平面，则 ,
∴即为直线与平面所成的角，
，，，∴ ﹐
又平面，平面,∴ ，
而 ，∴ ，
∴在 中， ，
又，
故线与平面所成角的正弦值为.
18. 在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知；
（1）求角的大小；
（2）若，三角形面积为，求三角形的周长；
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理得，代入化简可得.
（2）利用面积公式可得，，再根据余弦定理求解进而可得边长.
【小问1详解】
在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，，可得．又因为，可得．
【小问2详解】
由题意，，故，即，故，由余弦定理，解得.
故三角形的周长为
19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；
（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？
【答案】（1）谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米
（2）当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【分析】（1）作出辅助线，将代入解析式，求出，从而得到到桥面的距离为米，由，求出，从而求出的长度为120米；
（2）建立平面直角坐标系，表达出，，设桥墩CD与EF的总造价为万元，得到的解析式，求导后得到的单调性及极值，最值情况，求出为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【小问1详解】
设都与垂直，是相应的垂足，
由条件知：当米时，米，即米，
所以到桥面的距离为米，
由，解得：米，
所以米，
所以桥的长度为120米；
【小问2详解】
以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，则，
，
因为，所以，
设，则，
所以，
设桥墩CD与EF的总造价为万元，
则
，
，
令，得，
当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
20. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；
【答案】（1）
（2）
（3）2
【分析】（1）利用题给条件求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）先求得点关于直线的对称点的坐标，并代入椭圆的方程，即可求得的值；
（3）先利用设而不求的方法求得点，的坐标，再利用向量表示点，和点三点共线，进而求得的值
【小问1详解】
椭圆：的长轴长为，离心率为，
则，，则，则
则椭圆的方程为；
【小问2详解】
设椭圆上点关于直线的对称点
则，解之得，则
由在椭圆上，可得，
整理得，解之得或
当时与点M重合，舍去.则
【小问3详解】
设，则
又，则，直线的方程为
由，整理得
则，则
又，则，
则，则
令则，直线的方程为
由，整理得
则，则
又，则，
则，则
则
由点，和点三点共线，可得
则
整理得，则
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；
（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式；
（3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，则，
若，即，解得，则，
因为，可得，因此，.
【小问2详解】
解：当为奇数时，设，则，
此时，此时；
当为偶数时，设，则，
此时，，此时.
综上所述，.
【小问3详解】
解：，
因为，，其中，
所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列，
数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，
①当为偶数时，，
则，
此时，随着的增大而增大，则；
②当为奇数时，，
，
此时，随着的增大而增大，则.
因此，当且，的值在区间内，则，
故集合“阈度”的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”.