36，黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学(五四制)试题

这是一份36，黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学(五四制)试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则的相反数是( )
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数定义：“只有符号不同的两个数”，根据即可求出的相反数．
【详解】解：∵，
∴的相反数是
故选：A．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B.
C. （）D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方分别计算即可判断．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. （），故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方，是解题的关键．
3. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
4. 如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图．
【详解】从正面看可以得到从左到右三列，正方形的个数依次为1、1、2，
据此可知主视图为：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是要准确识图．
5. 点P（1，3）在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把P（1，3）代入，得，即.故选C.
考点：曲线上点的坐标与方程的关系.
6. 把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易得原抛物线的顶点及新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式．
【详解】∵y=2x2，
∴原抛物线的顶点为（0，0），
∵把抛物线 y=2x2 向右平移1个单位
∴新抛物线的顶点为（1，0），
∴新抛物线的解析式为y=2（x-1）2．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的平移，得到平移前后的顶点是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可；二次函数的平移不改变二次项的系数．
7. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
8. 如图，四边形是圆内接四边形，连接、，，，则（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质即可作答．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及平行线的性质等知识，掌握圆周角定理，是解答本题的关键．
9. 如图，已知点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，，，则下列结论错误的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例依次判断可求解．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴BD：AD=BE：EC，A正确；
∵EF//AB，
∴EF：AB=CF：CA，B正确；
∵DF∥BC不一定成立，
∴AD：AF=BD：CF不一定成立，C错误；
∵DE//AC，
∴DE：AC=BD：AB，
∴DE：BD=AC：AB，D正确；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键 ．
10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A. 3B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，

在和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共30分）
11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________.
【答案】2.5×10-6
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000025=2.5×10-6，
故答案为：2.5×10-6．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 函数的自变量的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意得
x-3≠0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
13. 计算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．
【详解】解：=
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的减法，化成最简二次根式再计算，这是通常最直接的做法．
14. 将多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提公因式和公式法分解因式，关键是看准式子特点．先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可求得答案．
详解】解：
，
故答案为：．
15. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
16. 某扇形的半径为10，其弧长为，则此扇形的面积是________．
【答案】60πcm2
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵一个扇形的弧长是12πcm，半径长为10cm，
∴此扇形的面积×12π×10=60π（cm2），
故答案为：60πcm2．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．
17. 观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018 ①，
①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019 ②，
②﹣①得2S=32019﹣1，S=．
运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知设S=1+5+52+53+…+52017+52018①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．
【详解】设S=1+5+52+53+…+52018①，
则5S=5+52+53+54…+52019②，
②﹣①得：4S=52019﹣1，所以S=，
故答案为．
【点睛】本题考查了规律型——数字变化类，涉及了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
18. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，
∴恰好是一红一白的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，

∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延长交x轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，

∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
20. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
二、解答题（21，22题7分，23，24题各8分，25，26，27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的除法和减法法则对原式进行约分化简，然后根据特殊角三角形函数值求出x，再将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
∵x＝2tan60°﹣4sin30°＝，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值及特殊角三角函数值的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10；

（2）在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，．请直接写出的长．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建平行四边形ABCD的面积为，则可以在A的水平方向取一条长为5的线段，可得点D； 同理确定C即可；
（2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建的钝角三角形ABE面积为，则可以在A的水平方向取一条长为的线段，可得点E，且，BE的长可以根据勾股定理求得．
【详解】解：（1）在A的水平方向取一条长为5的线段，再取在B的水平方向取一条长为5的线段，四边形即为所求．

（2）在A的水平方向取一条长为的线段，则 为钝角，
过作于 则
所以即为所求．
此时：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与作图，利用直角三角形的性质与锐角三角函数作符合条件的钝角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
23. 为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）通过计算请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校共有名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？
【答案】（1）8，；
（2）见解析； （3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图意义和制作方法、用样本估计总体，理解各个数量之间的关系是正确解答的关键．
（1）由频数分布直方图可得，由频数之和为求出的值，进而根据中位数的意义，找出第、位的两个数落在哪个范围即可；
（2）根据（1）所求即可补全频数分布直方图；
（3）用乘以样本中学生立定跳远成绩在范围内的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由统计图得，，
∴，
∵由样本容量为得中位数为第、个，，
∴中位数落在内，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
解：（人，
答：估计该校名学生中立定跳远成绩在范围内的有人．
24. 阅读短文，解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.
如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.
(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；
(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.
【解析】
【详解】【分析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积.
【详解】（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，
∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是菱形，
∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，
∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，
∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA=BF：AC，
即（6-a）:6=a：12，
∴a=4，
过D作DG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，
∴S菱形AEFD=AE•DG=8，
即四边形AEFD的面积为8.
【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.
25. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书．
【解析】
【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题；
（2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可．
【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，
，
，
经检验是原分式方程的解，
，
答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元．
（2）设今年这所中学要购买本文学书，
．
答：今年至少要购买140本文学书．
【点睛】本题考查分式方程实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26. 已知内接于，半径OD交BC于点E，连接AD，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D作于点G，交BC于点F，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DE交AB于点M，点N在的延长线上，连接，，，若，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）的半径长为5
【解析】
【分析】（1）连接，，根据，得出，证明垂直平分，即可得出答案；
（2）在上取点K，使，连接，证明，得出，根据等腰三角形性质证明，得出，即可证明结论；
（3）在上取点K，使，连接，，过点A作于点I，过点M作，交于点J，连接并延长，交于点H，连接，设，则，则，，，
设，则，，证明，得出，求出，得出，求出，根据，设，则，求出，得出，最后解直角三角形求出圆的直径，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴．
【小问2详解】
解：在上取点K，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
即．
【小问3详解】
解：在上取点K，使，连接，，过点A作于点I，过点M作，交于点J，连接并延长，交于点H，连接，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
设，则，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
根据解析（1）可知，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴的交点分别为点A、B，与y轴的交点为点C．
（1）求直线解析式；
（2）点P为第四象限的抛物线上一点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点M在y轴的负半轴上，连接，，N为的中点，点Q在上，连接交抛物线于点R，当时，求R点的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）0或
【解析】
【分析】（1）令抛物线，，求出点B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，即可求解；
（2）由题意得是等腰三角形，即点P在过点B，C的中点且垂直于直线的直线上，求出点B，C的中点坐标，设点，利用勾股定理即可求出a的值，求出符合点点P特征的点即可；
（3）过点P作轴，垂足为点F，根据（2）的结论结合已知分别证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标，进而得到N点的坐标，求出直线的解析式，设点，利用两点间距离公式结合，求出点Q的坐标，再求出直线的解析式，联立抛物线即可求解．
【小问1详解】
解：在抛物线中，
令，则，
，
令，则，即，
解得：，
点B在x轴的正半轴，
，
设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，得
，
解得：，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：设点，
，
，即，
整理得：，
解得：或（舍去，不符合题意），
当时，，
；
【小问3详解】
解：如图，过点P作轴，垂足为点F，
由（2）知点，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点M在y轴的负半轴上，
点，
N为的中点，
，
设直线的解析式为，将代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
或，
当时，，
此时，点Q与点O重合，
与抛物线交点在y轴上，
点R的横坐标为0，
当时，，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线，得，
解得（舍去，不符合题意）或，
∴此时，交抛物线于点R的横坐标为，
综上，点R的横坐标为0或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形，的判定及性质，直角三角形的性质，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．红1
红2
红3
白1
白2
红1
（红1，红2）
（红1，红3）
（红1，白1）
（红1，白2）
红2
（红2，红1）
（红2，红3）
（红2，白1）
（红2，白2）
红3
（红3，红1）
（红3，红2）
（红3，白1）
（红3，白2）
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，红3）
（白1，白2）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，红3）
（白2，白1）
分组
频数
a
12
b
10