39，湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份39，湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分 120分，时量120分钟
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列对于式子说法， 错误的是（ ）
A. 指数是2B. 底数是C. 幂为D. 表示2个相乘
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可．
【详解】解：，
对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16；
故错误的是C；
故选C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
3. “染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对，223000000用科学记数法可表示为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式，其中.为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数.
【详解】解：，
故选：.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，同底数幂的除法，以及幂的乘方运算，根据相关运算法则，逐一计算后，判断即可．
【详解】解：A、，不能合并，选项计算错误；
B、，选项计算错误；
C、，选项计算错误；
D、，选项计算正确；
故选D．
5. 已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式得出，即，且，据此即可求解．
【详解】解：依题意，即，且，
∴关于的函数的图像是反比例函数图像，且图像在第一象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图像是解题的关键．
6. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为， 同时测得，则为（ ） m．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由图和题意，得：，，
∴，
∴；
故选B．
7. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合数轴可知：且，找出其公共的部分即可解答．
【详解】解：由数轴知且，
其公共部分为，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是结合数轴找出公共的部分．
8. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键．
先根据题意画出树状图，再确定共有多少种可能性以及恰好抽中内含笔和纸的可能性数目，然后运用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含笔和纸的可能性有2种，
故恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率是．
故选A．
9. 如图，直线 ，，，则（ ）
A. 30°B. 35 °C. 36°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．
10. ，两地相距，一艘轮船从地逆流航行到地，又立即从地顺流航行到地，共用去，已知水流速度为，若设该轮船在静水中的速度为，则下列所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据本题的等量关系顺流时间+逆流时间=9小时列方程即可．
【详解】设顺流时间为： ；逆流时间为：，
列方程为：，故选B．
【点睛】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负，分式的分母不等于零，列式计算即可，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案：．
12. 二次函数的顶点坐标公式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标公式即可求解，熟记二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
【详解】解：二次函数的顶点坐标公式为，
故答案为：．
13. 一组数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据数据的众数确定出n的值，即可得出结论．
【详解】解：∵数据2，6，n，5，3有唯一的众数是3，
∴n＝3，
∴此组数据为2，3，3，5，6，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数，熟练地掌握中位数和众数的定义是解题的关键．中位数：一列数据按顺序排列，位于中间的那个数；众数：一列数据中出现次数最多的数．
14. 把进行化简，得到的最简结果是_________________(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的表面积为 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的表面积，根据圆锥的表面积等于侧面积加上底面积，进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，
∴圆锥的表面积为；
故答案为：．
16. 如图， 在中， C、 D三等分弧，、相交于点E， 若， 则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆周角相等，得到，结合，得到，列出比例式进行计算即可．
【详解】解：∵C、 D三等分弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍掉）．
故答案为：．
三、解答题(17，18， 19题每题6分， 20， 21题每题8分， 23， 24 每题9分， 25， 26题每题10分， 共72分)
17. 计算:
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值，先算负整指数幂和零指数幂，再化简绝对值和求三角函数值，最后算加减即可求解，理解并掌握负指数幂，化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数．熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 先化简， 再求值∶ 其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
19. 某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，随机抽取了 100名参赛同学的成绩按A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计图表和扇形统计图
（1）求 ，
（2）在扇形统计图中，求C等级所对应的圆心角的度数；
（3）若该市参加选拔的学生总人数为3000人，请你估计该市成绩达到A等级的学生人数．
【答案】（1）；
（2）
（3）人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表求频数、求扇形统计图的圆心角度数、根据样本的频数估算总数：
（1）结合扇形统计图以及频率分布表可得到结果；
（2）根据C等级所占的比例，可得到圆心角度数；
（3）根据A等级所占的比例，可得到结果；
根据统计图和统计表获得信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了 100名参赛同学，
∴，
∵D等级在扇形图中所占，即频率为，
∴C等级的频率为，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由题可得，
C等级所对应的圆心角的度数为，
∴C等级所对应的圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：由题可得，
A等级学生人数为人，
∴该市成绩达到A等级的学生人数为人．
20. 如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
（1）求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
（2）若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【答案】（1）424米
（2）会迟到，见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作交的延长线于点D，先根据三角函数求出的长，再根据勾股定理求的长即可；
（2）先根据三角函数求出的长，再计算即可．
【小问1详解】
过点C作交的延长线于点D，
由题意知，，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：菜鸟驿站C与超市B的距离424米．
【小问2详解】
会迟到，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴小南上美术网课会迟到．
【点睛】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
21. 在边长为1的正方形中，点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线交于点F．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明，可得，可得结论．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
．
，
；
【小问2详解】
证明：由正方形的性质得，，，
．
又，
．
．
，
．
22. 某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价元，标价为元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
（2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】（1）；
（2）元．
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；
（2）设每台冰箱售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为x，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
答：每次降价的百分率是；
【小问2详解】
解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得，
，
解得：，
答：每台冰箱的售价应定为元．
【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．
23. 如图，都是的半径，．

（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
【小问2详解】
解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
24. 在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线：与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）切点坐标为
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义得出的值，解之可得；
（2）联立可得切点为，从而得出经过点，，利用待定系数法得出，联立，得：，利用得出，，，即可得解；
（3）由与的交点的纵坐标为4，可令，则直线，直线 ，联立，得：，由直线是抛物线的切线，可得，同理可得：，从而得出为的两根，最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【小问1详解】
解：联立，得：，
解得：，
切点坐标为；
【小问2详解】
解：直线与二次函数相切，
联立，得：，
解得：，
切点为，
与都相切于同一点，
经过点，，
解得：，
，
联立，得：，
，
解得：，
，，
的解析式为：；
【小问3详解】
解：是定值，，
理由如下：
与的交点的纵坐标为4，
令，
直线，直线 ，
，，
直线，直线 ，
联立，得：，
直线是抛物线的切线，
，
同理可得：，
为的两根，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
25. 如图，为的直径，弦 于点E，G为劣弧上一动点，与的延长线交于点F，连接．．

（1）求证: ；
（2）若 求y与x的函数关系式；
（3）设
①求α与β的数量关系；
②当 且 时， 求x的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理，得到，进而得到，根据直径所对的圆周角等于，得到，进而得到，利用等角的余角相等，即可得证；
（2）垂径定理，得到，证明，推出，在中，利用勾股定理得到，即可得解；
（3）如图，设交于点，连接，过点作于点，过点作于点，则，①先证明，得到，由，得到，再由，得到，再根据，即可得证；②先推出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，证明，得到，勾股定理求出，即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
直径弦，
，
，
是的直径，
，
，
，
即；
【小问2详解】
直径弦，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
则，
∴，
，
∴；
【小问3详解】
如图，设交于点，连接，过点作于点，过点作于点，则，
①∵直径弦，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵， ，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
在中，
在中，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，正确的作出辅助线，是解题的关键．成绩等级
频数(人数)
频率
A
5
B
m
C
n

D


合计
100
1