55，四川省凉山州宁南县初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份55，四川省凉山州宁南县初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共21页。

2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，由监考教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回．
本试卷共4页，分为A卷（100分）、B卷（50分），全卷满分150分，考试时间120分钟．A卷又分为第I卷和第II卷．
A卷（共100分）
第I卷选择题（共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程定义逐项验证即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、当时，才是一元二次方程，不符合题意；
C、是两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正确的变形是（ ）
A. （x﹣5）2＝1B. （x+5）2＝26C. （x﹣5）2＝26D. （x﹣5）2＝24
【答案】C您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【解析】
【分析】把常数项-1移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数-10的一半的平方，然后配方即可.
【详解】把方程x2-10x-1=0的常数项移到等号的右边，得到x2-10x=1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-10x+25=1+25，
配方得（x-5）2=26，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3. 与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）
A B. C. D. .
【答案】B
【解析】
【分析】形状相同，而开口方向相反的抛物线，它们解析式的顶点式形式只有二次项系数不同，它们互为相反数．
【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反抛物线，即与抛物线只有二次项系数不同，互为相反数．
即．
故选：B．
【点睛】二次函数的解析式中，二次项系数的正负确定函数开口方向，二次项系数的绝对值决定了开口大小．
4. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】把代入方程计算求出的值即可．
【详解】解：把代入方程得：，即，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 开口向下
C. 顶点坐标是D. 与轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；对每个选项分析、判断即可．
【详解】解：抛物线，所以开口向上，故B选项不符合题意；
顶点坐标为，所以故C选项不符合题意；
对称轴为直线，故A选项不符合题意．
根据顶点坐标以及开口向上可判定与轴有两个交点，故D选项符合题意；
故选：D
6. 若一元二次方程的两个根分别为，则的值等于（ ）
A. B. 4C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的两个关系式是解题的关键．
7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．
8. 若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为，
设二次函数顶点式，
图像过点，
，解得，
该二次函数的解析式是，
故选：C．
9. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）

A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解．
【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴一元二次方程的解为，．
故选：D．
【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值．
10. 学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是73个，可得关于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确题意，写出相应的方程．
11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项．
【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键．
12. 如图，已知二次函数，（常数，且）图像的对称轴为直线，且经过点．给出以下结论：
①；②；③时，随的增大而减小； ④对于任意实数，总有．
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与性质，根据二次函数图像与性质，确定二次函数系数符号及代数式符号即可得到答案，熟记由二次函数图像判定系数及式子的符号是解决问题的关键．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故①错误；
②抛物线经过点，
，即，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
时，随的增大而减小，故③正确；
④，
，
对于任意实数，总有，故④正确；
综上，正确的有②③④，共3个；
故选：C．
第II卷非选择题（共52分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13. 一元二次方程的根是_________．
【答案】，
【解析】
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
14. 若是关于的二次函数，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的二次函数，
，，即，
，
故答案为：．
15. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线平移，涉及抛物线平移法则：左加右减、上加下减，根据题意，按照抛物线平移法则求解即可得到答案，熟记抛物线平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式是．
16. 抛物线与轴的两交点间的距离是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：令，则，
，
解得或，
抛物线与轴的两交点坐标为、，
抛物线与轴的两交点间的距离是，
故答案为：4．
17. 已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为______．
【答案】18或15
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，先解一元二次方程得到该等腰三角形的另一边长为4，再分当腰长为4时，当腰长为7时，两种情况求出三角形三边长，然后根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴该等腰三角形的另一边长为4，
当腰长为4时，则该三角形三边长为4，4，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为；
当腰长为7时，则该三角形三边长为4，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为18或15，
故答案为：18或15．
三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 用公式法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
19. 选择你喜欢的方法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及一元二次方程的解法，根据方程结构特征，选择提公因式法解一元二次方程即可得到答案，熟记一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，由方程结构特征灵活选用是解决问题的关键．
【详解】解：
，则，
或，
．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有两个实数根、，且，求k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可．
【小问1详解】
证明：∵关于x的一元二次方程为，
∴
，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
21. 已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出：当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是______．
【答案】（1）顶点坐标为，图象见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，灵活运用数形结合思想是解（2）题的关键．
（1）把化为顶点式，根据五点作图法，先描点再连线，即可作答．
（2）结合（1）的图，运用数形结合思想即可作答．
【小问1详解】
解：
∴二次函数图象的顶点坐标为．
列表如下：
画出函数图象如图：
【小问2详解】
解：结合（1）图，当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是．
22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，则，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，解得，即 ；
当时，解得或，即或；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知是抛物线上的三点，则之间的大小关系是_______．（用“”符号连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线的图像与性质，根据抛物线得到它开口向下，从而确定抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出对称轴是轴，由是抛物线上的三点，计算这三点到轴的距离，即可比较大小，掌握利用抛物线性质比较函数值的大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，对称轴是轴，
抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，
是抛物线上的三点，且到轴的距离为；到轴的距离为；到轴的距离为；；
，
故答案为：．
24. 已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，
故答案为：．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
25. 如图，用篱笆围长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米，此面不需要篱笆），在花圃的中间隔有一道篱笆（垂直于墙）．为了方便出入，在上用其他材料做了两扇宽为1米的小门．已知所用篱笆的长度为34米，设花圃垂直于墙的边的长为米．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）当的长为多少米时，所围成花圃的面积为105平方米？
【答案】（1）米
（2）当的长为7米时，所围成花圃的面积为105平方米
【解析】
【分析】本题考查列代数式及一元二次方程解实际应用题，涉及矩形性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，数形结合表示出矩形长与宽，由矩形面积公式列出方程求解是解决问题的关键．
（1）根据题中图形，所用篱笆的长度为34米，设花圃垂直于墙的边的长为米，根据矩形性质即可列式表示出的长；
（2）由题意，结合（1）中求出的长，利用矩形面积公式列方程求解，分类讨论，结合实际意义即可得到答案．
【小问1详解】
解：所用篱笆的长度为34米，花圃垂直于墙的边的长为米，
米，即米；
【小问2详解】
解：由题意，得，解得，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
米，
答：当的长为7米时，所围成花圃的面积为105平方米．
26. 解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查换元法解一元二次方程：
（1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解；
（2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：设，则原方程可化为，
解得（舍去）．
，
解得．
原方程的解为．
【小问2详解】
解：设，则原方程可化为，
整理，得，
解得，
，
解得，
原方程的解为．
27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入，得，即，
将代入，得，解得，即，
对称轴为直线，点关于对称轴对称，
，
设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得，
，
抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：点与点关于直线对称，点在直线上，，
当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长，
将代入直线的函数解析式，得，
此时．
【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
28. 如图，抛物线经过坐标轴上三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，的面积有最大值4，此时
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时；
（3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标．
【小问1详解】
解：抛物线经过坐标轴上三点，
将代入得，解得，
抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
直线的函数解析式为，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时；
【小问3详解】
解：存在点，使得四边形是平行四边形．
，
抛物线的对称轴为直线，
由题知，，
设，
当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得，
．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键．