02，甘肃省武威市民勤县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份02，甘肃省武威市民勤县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 总分150分）
一、单选题（每题只有一个选择为正确答案，每题5分，共40分）
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件，利用集合的并运算和补集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定从而可求解.
【详解】由题意可得“”的否定为“”，故C项正确.
故选:C.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的基本性质逐项排除即可.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称.，
所以函数是奇函数，即的图象关于原点对称，故B错误；
当时，因为，，
所以，故C错误；
因为，
所以在上并不单调递增，故D错误.
故选：A.
4. 函数（，）的图象过定点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标.
【详解】令，则，此时，故定点的坐标为.
故选：C
5. 已知集合，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】集合，
，显然集合真包含于集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解.
【详解】因为，，所以由变形可得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为，
故选：D
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的性质和根式与分数指对幂的运算比较大小
【详解】由已知得，，，
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，
故选：C.
8. 已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，即可求参数范围.
【详解】作出函数的图象如图所示，

函数，且有5个零点，
等价于有5个解，即或共有5个解，
等价于的图象与直线，共有5个交点.
由图得的图象与直线在4个交点，
所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分．共20分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角
C. 扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为
D. 若是第四象限角，则点在第四象限
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：求出角即可；对于B：求出角的范围后再判断；对于C：利用条件列方程求出弧长和半径，再利用公式求面积即可；对于D：根据角所在象限确定三角函数值的正负即可.
【详解】对于A：若，且，则，则，A错误；
对于B：若是第二象限角，则，
所以，即是第一或第三象限角，B正确；
对于C：设扇形的的半径为，弧长为，则由已知，解得，
所以扇形面积为，C正确；
对于D：若是第四象限角，则，所以点在第三象限，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，其中且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数的图象过定点
C. 函数在其定义域上有解
D. 当时，函数在其定义域上为单调递增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，令求解即可判断C正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D正确.
【详解】函数，
对选项A，，定义域为R，，
所以函数是奇函数，故A正确.
对选项B，，故B错误.
对选项C，，定义域为R，令，解得，
故C正确.
对选项D，当时，，所以和在R上为增函数，
所以函数在R上为单调递增函数，故D正确.
故选：ACD
11. 下列选项中的图象变换，能得到函数的图象的是（ ）
A. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
B. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
D. 先将的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，A选项正确.
B选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，B选项正确.
C选项，将的图象向右平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，C选项正确.
D选项，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，D选项错误.
故选：ABC
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递增
C.
D. 关于方程有 8 个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知易得奇函数的周期为2，结合已知区间解析式画出部分图象，判断A、B；应用周期性求判断C；令，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数判断D.
【详解】由，即奇函数的周期为2，A对；
且，，
又，故，则的部分图象如下，

由图知：在区间上不单调，B错；
，C对；
对于D，令，则，故，
问题化为在上有4个解，
由，趋向1时，
且，在上递减，在上递增，
在上图象如上图，在上有4个交点，D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D项，应用换元法，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数为关键.
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13. 一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第75百分位数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】对数据进行排序，结合百分位数的定义，直接求解即可.
【详解】将个数据23，76，45，37，58，16，28，15，20按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，
又，故该组数据的第75百分位数是第个数据.
故答案：.
14. 点在角终边上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解.
【详解】∵点在角终边上，
∴，，
∴，
故答案为：.
15. 已知函数满足以下条件：
①图像关于轴对称；②的值域为；③在内为增函数．
则满足上述条件的一个函数______．（只需任意写出一个即可）
【答案】，答案不唯一
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、函数的平移求解.
【详解】∵图像关于轴对称，∴为偶函数，
则，函数满足条件①；
∵在内为增函数，∴函数，
设存在，且，令，
则，∴，
∴满足条件②，
∵的值域为，∴将的图象向上平移个单位，即，
∵为偶函数且在内单调递增，∴在上单调递减，
∴的值域为；
∴满足上述三个条件，
故答案为：（答案不唯一）.
16. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是___________
【答案】
【解析】
【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：.
所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增.
因为，即，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知集合，，.
（1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；
（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
【小问2详解】
因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
18. 2023年暑期，兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷至沓来，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）及中位数（结果用分数表示）．
【答案】（1）；
（2）平均数10.64，中位数.
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图，列式计算即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，列式计算即可.
【小问1详解】
，所以.
【小问2详解】
设这100名游客调查问卷中得分的平均值为，
则；
因为，，
所以中位数在8和12之间，
设中位数是，所以，可得．
19. 设,函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若的最大值为5，求的最小值．
【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）.
【解析】
【详解】（1）由，知对任意都成立，
令，，则，
且，，
在上为减函数，在上是增函数，
又为增函数，的两个单调区间为，，
且在上为减函数，在上为增函数
（2）由（1）的单调性知在处取得最小值，在处取得最大值.
，依题意，解得，
20. 已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.
（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.
【小问1详解】
解：根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在值域.
21. 已知定义域为的函数（且）是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）当时，在上为增函数；当时在上为减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求解；
（2）根据函数单调性的定义证明；
（3）利用函数的奇偶性将转化为，再根据恒成立的条件利用分离参数法求解即可.
【小问1详解】
因为是定义在上奇函数，
所以，所以，
又由得，∵，
∴，∴，即，
此时，，
又，符合奇函数的定义，所以，．
【小问2详解】
当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减．
证明：由（1）知，
任取，设，则，
因为时函数在上是增函数，
所以，，
所以，即，
所以当时函数，函数在上是增函数．
同理可证，当时，函数在上是减函数．
【小问3详解】
因为是奇函数，
所以不等式等价于．
又当时，在上是增函数，故，
即对任意有恒成立．
令，，则有，，
所以，
所以，即k的取值范围为．
22. 设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.
（1）若，求函数的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，当时，可得，可解得函数的准不动点；
（2）先根据对数的性质可得在内恒成立，即在内恒成立，可得；再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点，分析求解即可．
小问1详解】
若时，则，
因为在内均单调递增，则在内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
【小问2详解】
因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为．