18，湖北省荆州市沙市中学2024届高三下学期3月月考数学试题

这是一份18，湖北省荆州市沙市中学2024届高三下学期3月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：吕跃 审题人：刘超
考试时间：2024年3月2日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，则（ ）
A. 0B. 2C. D. 0或2
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可.
【详解】当时，由知，，又，所以，所以；
当时，由知，，又，无解；
当时，由知，，又，无解；
当时，由知，，又，所以，所以；
综上，则0或2.
故选：D
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解.
【详解】由已知得，即（），
则.从而.
故选：A.您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 3. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】因为，
对于A，若，则与有可能异面，故A错误；
对于B，若，则，又，则，故B正确；
对于C，若，则有可能，故C错误；
对于D，若，则与有可能相交，故D错误．
故选：B．
4. 设实数满足.若数据1，3，4，，，的平均数和第50百分位数相等，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由于，个数从小到大排列后有三种形式，分情况研究个数的平均数和第50百分位数相等即可求出的值.
【详解】数据1，3，4，，，共有个数，，
故第50百分位数应该是从小到大排列后的第个数和第个数的平均数，
且这个数的平均数和第50百分位数相等，
当个数从小到大排列后为：1，3，4，，，时，
有等式：，解得；
当个数从小到大排列后为：1，3，4，，，或1，3，4，，，时，
有等式：，解得；
综上，或，
故选：C.
5. 已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：A
6. 某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A. 8种B. 16种C. 24种D. 32种
【答案】D
【解析】
【分析】由排列组合以及分类分步计数原理即可得解.
【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，
于是共有种排法.
故选：D.
7. 已知是双曲线上不同的三点，且，直线的斜率分别为.若的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线可知，两点关于原点对称，分别设出，，三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率．
【详解】，原点是的中点，
不妨设,，,，,，
，，，
又，且、，都在双曲线上，
，两式相减可得：
，，
，
又，当且仅当时等号成立；
，
，故，
双曲线的离心率．
故选：C．

8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的周期为2D.
【答案】C
【解析】
【分析】选项A，偶函数的导函数是奇函数，可得到函数是奇函数，过原点，可做出判断；选项B，构造函数，判断其奇偶性，进而得到的图象特征；选项C，两个对称性得到周期性，因为为偶函数，得，因为为奇函数，可得：，自变量代换后化简可得，即可做出判断；选项D，先求出，并归纳出，由，归纳出，再利用周期性，将表示为，求值即可.
【详解】对于选项A，因为为偶函数，
其导函数为奇函数，
将代入，得，得，选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，
所以为奇函数，且，
则的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，因为为偶函数，可得：，
即，
因为为奇函数，可得：，
即，得，
所以，即，
则，
可知的周期为4，选项C错误；
对于选项D，因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，
又的周期为4，可得和，
合并后，可得：.
选项C中有等式，即，
则有成立，
有：
选项D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题CD的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出，结合其周期进行求和从而判断D选项.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，是的共轭复数，则（ ）
A. 若，则
B. 若纯虚数，则
C. 若，则
D. 若，则集合所构成区域的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D.
【详解】对于A，，则，A正确；
对于B，为纯虚数，令，则，B正确；
对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误；
对于D，集合所构成区域是复平面内以为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为，D正确.
故选：ABD
10. 设是一次随机试验中的两个事件，且则（ ）
A. 相互独立B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，所以，
，
，
所以，即，
所以相互独立，A选项正确.
则相互独立，相互独立，相互独立，
所以
，所以B选项正确.
，所以C选项错误.
，
，
所以D选项错误.
故选：AB
11. 已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A 有且仅有两个零点；
B. 有一个或两个零点；
C. 的取值范围是；
D. 在区间上单调递减.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据，求出，并将其看成一个整体，结合正弦函数的图象和性质，判断选项.
【详解】，当时，，
设
作出函数的图象，

因为函数有且仅有三个零点，所以，
则在上有两个最小值点，最小值为，有一个或两个最大值点，最大值为1，
所以有且仅有两个零点，有一个或两个零点，故A、B正确；
由于函数在上有且只有3个零点，由图象可知，故C错误；
当时，，由知，，
所以在上递减，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______.
【答案】
【解析】
【分析】与所成的角为钝角即且与不平行，列式求解即可.
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数，若有最小值，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解.
【详解】当时，单调递减，所以，
当时，，
若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值；
若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，单调递减，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；
综上，的取值范围是，
故答案为：
14. 在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝__，此时三棱锥的体积为 ____．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】作于点，连接，结合余弦定理表示出，即可得到当最短时的度数，再结合锥体的体积公式即可得到结果.
【详解】作于点，连接，设，则，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
因为为直二面角，所以平面平面，
因为平面平面，，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
则，
当最短时，，所以，
即此时为的角平分线，，
且由角平分线定理可得，，
即，所以，
所以.
故答案为:；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】15.
16.
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，
（2）分离参数，将问题转化为对于恒成立，构造函数利用导数求解函数的最值即可求解.
【小问1详解】
时，，则，
，故，
所以直线方程为，即；
【小问2详解】
，当时，的最大值为，
对于恒成立，则，
即，，当时，不等式成立，
当，即对于恒成立，
令，则，
于是当时， ，递增；在，，递减，
， 因此
的取值范围为
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
16. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
（1）求；
（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.
（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果.
【小问1详解】
,,,
【小问2详解】
，
.
该球是甲工厂生产的概率为.
17. 设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
（1）求与平面所成角的正切值；
（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，则即为与平面所成角的平面角，再解即可；
（2）连接，作于点，证明平面，则即为点到平面距离，再在中，利用等面积法求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
所以即为与平面所成角平面角，
在中，，则，
所以与平面所成角的正切值为；
【小问2详解】
假设存在，设，
连接，作于点，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
所以即为点到平面的距离，
由，得，
由，解得，
所以存在，.
18. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）设，求得D点并代入，化简求得曲线C的方程；
（2）设的方程为，直线的方程为，将直线的方程与曲线C的方程联立，求得M，N的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标；
（3）假设存在点使得，先求得，设出G，H的坐标，由直线SH和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标．
【小问1详解】
设，，则，
由题意知，所以，得(，所以，
因为，得，故曲线C的方程为．
【小问2详解】
由题意可知，直线不平行坐标轴，
则可设的方程为：，此时直线的方程为．
由，消去得：，
解得：或(舍去)，所以，
所以，同理可得：．
当时，直线的斜率存在，
，
则直线的方程为，
所以直线过定点．
当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，
综上所述：直线过定点．
【小问3详解】
假设存在点R使得，设，
因为，所以，即，
所以，所以，
直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，
设，
易知点，直线方程是，
令得点P横坐标，
直线方程是，令得点Q横坐标，
由，得，又在椭圆上，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得成立．
19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）若，求数列的最小项；
（2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（3）若，求证：数列具有性质．
【答案】（1）最小项为
（2）数列具有性质，理由见解析．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②；
（3）结合二项式定理及n元基本不等式求解.
【小问1详解】
，当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
【小问2详解】
数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
【小问3详解】
先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.