30，湖南省长沙市德成学校2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题

这是一份30，湖南省长沙市德成学校2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：90分钟 分值：100分
命题：黄薇 审题：冉艺
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.
【详解】由题意，二次方程无解，故，解得.
故选：D
2. 已知函数，则在区间的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性可求得最大值和最小值，由此可得值域.
【详解】的对称轴为，
在区间单调递减，在单调递增，
当时，；当，，
的值域为.
故选：B．您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 3. 是“函数存在零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过存在零点求解出的解集，通过集合间的关系可判断出结果.
【详解】存在零点有根
当时，不合题意
当时，
得到：或
可知解集是或的子集
∴ “”是“函数存在零点”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
4. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
转化为，利用二次函数知识求出最小值即可得解.
【详解】因为不等式对任意恒成立，
令，，则，
因为在上的最小值为，
故.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
5. 下列函数与表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】通过确定定义域和解析式是否都相同来判断.
【详解】对于A：中，中，即与的定义域不同，不是同一函数；
对于B：中，中，即与的定义域不同，不是同一函数；
对于C：，且定义域均为，是同一函数；
对于D：与的解析式不同，不是同一函数.
故选：C.
6. 已知是奇函数,当时,当时等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数定义求解．
【详解】令，则，
∵时，
∴，
又是奇函数，
∴当时，.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 使为奇函数.
B. 使为偶函数.
C. 使都为偶函数；
D. 使都为奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】特称命题与全称命题真假的判断，主要利用以及特殊值进行判断
【详解】对A选项：时，为奇函数，A正确
对B选项：若为偶函数，则
，则的值不存在
故B不正确
对C选项：若为偶函数，则
，
所以使都为偶函数，故C正确
对D选项：令，
由，所以，故D错误
故选：AC.
8. 集合也可以写成（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.
【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；
对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；
对于D选项，等价于，故D正确.
故选：ABD
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若正实数，满足，则的最小值为8
D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值、差比较法、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，但，所以A选项错误.
B选项，，，
，所以，B选项正确.
C选项，，
当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，，
但无解，所以等号不成立，所以D选项错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
10. 集合共有_____________个子集
【答案】8
【解析】
【分析】根据集合中有个元素，则其子集有个即可得解.
【详解】集合共有个子集.
故答案为：.
11. 函数在上的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数图象与性质，结合单调性，即可求解.
【详解】根据函数图象与性质，
可得函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，最大值为．
故答案为：1.
12. 已知为锐角，且，则______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】将已知等式两边平方, 利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出 的值,
即可求出 的值 .
【详解】,两边平方得: ,即
,
则 ,解得 .
故答案为: .
四、解答题：本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13 .化简下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简即可得解.
【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得
（2）根据对数的运算性质,化简可得
【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,换底公式的用法,属于基础题.
14. 已知集合， ，.
（1）求
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】(1)根据集合的交集运算法计算即可；
(2) 根据集合的并集运算法计算即可；
(3)先算,再求与的交集.
【详解】(1)由可得；
(2)由可得
(3)由,故或,
所以.
综上，(1) ;（2）；（3）
15. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．

（1）作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；
（2）写出当时，的解析式；
【答案】（1）图象见详解，的增区间为：.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质，结合图象求出函数的单调区间.
（2）根据已知，利用函数的奇偶性求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象为：

由题可知，结合图象有：函数的增区间为：.
【小问2详解】
当时，，由题可知：
，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以当时，.