37，广西壮族自治区百色市平果市铝城中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

这是一份37，广西壮族自治区百色市平果市铝城中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试范围：选择性必修一和选择性必修二第四章
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列满足，，，则的值为
A. 12B. 15C. 39D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可．
【详解】由题意得
所以为等差数列，，，选择B
【点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题．
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 4C. 或1D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得或1．
故选：C
3. 已知 ， 则 （ ）
A. 506B. 1011C. 2022D. 4044
【答案】D
【解析】
【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.
【详解】解：，您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 ，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
4. 直线被圆截得的弦长为
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据点到直线的距离公式可求得，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故应选.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；
5. 已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A. 双曲线B. 双曲线一支C. 两条射线D. 一条射线
【答案】B
【解析】
【分析】根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案.
【详解】点的坐标满足,
即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，
即 ,且 ，
故动点P的轨迹是双曲线的一支，
故选：B
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（ ）
A. B. AP⊥AD
C. AP⊥ABD. 是平面ABCD的一个法向量
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解.
【详解】解：由题意，因为，，，
所以，故选项A错误；
因为，所以AP⊥AD，故选项B正确；
因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误；
故选：B.
7. 在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案.
【详解】
故选：A.
8. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得和，再由余弦定理可得与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算即可求解.
【详解】设，，点P是两曲线在第一象限的一个公共点，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得：，
在中，，
由余弦定理可得：，
整理可得：，两边同时除以得，
即，
因为，可得，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设，，由椭圆和双曲线的定义解方程可得，在中，，利用余弦定理列方程化简后可得，，两边同时除以可得和的关系.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列公差为，前n项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A.
B.
C. 当时，的最大值是或
D. 当时，的最小值是或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件求出，由通项公式可判断A，由求和公式可判断B，根据前n项和公式及二次函数性质可判断CD.
【详解】因为，，成等比数列，
所以，即，
解得，即，故A正确；
，故B错误；
，
所以当时，由二次函数性质知，或时，的最小值是或，
当时，由二次函数性质知，的最大值是或，故CD正确.
故选：ACD.
10. 已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（ ）
A. 点在x轴上B. 椭圆E的长轴长为4
C. 椭圆E的离心率为D. 使得为直角三角形的点P恰有6个
【答案】BC
【解析】
【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A，B，C；结合向量的坐标运算判断为锐角，根据椭圆对称性可判断D.
【详解】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距，
椭圆的焦点在y轴上，A错误；
椭圆E的长轴长为，B正确；
椭圆E的离心率为，C正确；
椭圆的右顶点，焦点，
所以，
则，即为锐角，
故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误．
故选：BC．
11. 已知F1、F2是椭圆E：(a>b>0)的左右焦点，A、B为其左右顶点，点P是椭圆E上任一点(异于A、B)，则下列结论正确的是（ ）
A. |PF1|+|PF2|=2aB. 直线PF1和PF2的斜率之积为
C. D. 直线PA和PB斜率之积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 由椭圆的定义判断；B.设，利用斜率公式求解判断； C.利用余弦定理得到结合基本不等式求解判断；D. 设，利用斜率公式求解判断.
【详解】A. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，故正确；
B.设，则，所以，故错误；
C. 由余弦定理得， ，
所以 ，因为，所以 ，
又，当且仅当 时，等号成立，综上：，故正确；
D. 设，则，所以，故正确；
故选：ACD
12. 长方体中，，底面是边长为的正方形，底面中心为，则（ ）
A. 平面
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 四棱锥内切球的半径为
D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；计算出四棱锥的内切球的半径，可判断C选项；利用异面直线所成角的定义以及余弦定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，则，
平面，平面，平面，A对；
对于B选项，平面，平面，，
易知，则，
所以，，则，
同理可得，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以，，则，
所以，在上的投影向量为，B对；
对于C选项，点到平面的距离为，，
取的中点，连接，则，则，
所以，，
设四棱锥的内切球半径为，则，
所以，，C错；
对于D选项，因为，则与所成的角为或其补角，
由余弦定理可得，
所以，直线与所成角的余弦值为，D对.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知数列{an}满足，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】(n－1)2
【解析】
【分析】
由累加法可求出通项公式.
【详解】由题意知，
则
.
故答案为：.
【点睛】本题考查累加法求数列通项，属于基础题.
14. 已知直线，直线，则直线与间的距离为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
将化为，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】直线化为，
因为直线，
所以直线与间的距离，
故答案为：.
15. P为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆定义及余弦定理求得的值，代入三角形面积公式得答案．
【详解】由椭圆，得，，
则，，
，
由余弦定理可得：，
，
即，
的面积．
故答案为：．

16. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立得：，
所以直线与直线的交点坐标为，
所以线段的中点为，
设与的交点分别为，，
所以，，
则，，
分别把，代入到椭圆得：
，两式相减得：，
因为直线为：，所以，
且，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 圆，直线.
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）当时，最短弦长为
【解析】
【分析】（1）证得直线恒过圆内定点即可.
（2）当时被圆截得的线段的最短长度，求此时的弦长与的值.
【小问1详解】
因为直线的方程可化为，
所以过直线与的交点.
又因为点到圆心的距离，
所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点.
【小问2详解】
由（1）可知：过点的所有弦中，弦心距，
因为弦心距､半弦长和半径构成直角三角形，
所以当时，半弦长的平方的最小值为，
所以弦长的最小值为.
此时，.
因为，所以，解得，
所以当时，得到最短弦长为.

18. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．己知等差数列的前n项和为，，__________，__________．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式，根据每种选择列出方程组求解即可;
（2）得出的通项公式，然后利用裂项相消法求出其前n项和.
【小问1详解】
由于是等差数列，设公差为d，
当选①②，，解得
所以的通项公式
选①③，，解得，
所以的通项公式
选②③，，解得，
所以的通项公式
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以
．
19. 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】（1） （2）3
【解析】
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【小问1详解】
由题知，解得，
所以双曲线C的方程为：
【小问2详解】
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）在侧面内找一点，使平面．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，根据异面直线所成角的定义可知即为与所成的角或其补角，在中利用余弦定理，求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，由于平面，利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于、的方程组，求出点的坐标，即可得解．
【小问1详解】
设，连、，则，
∴即为与所成的角或其补角．
在中，，，，
∴．
即与所成角的余弦值为．
【小问2详解】
分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，
则可得、、、、、，
，
设，则，由于平面，
所以，化简得，可得，，
因此，点的坐标为，
从而侧面内存在一点，当到、的距离分别为1和时，平面．
21. 已知数列满足，数列的首项为2，且满足
（1）求和的通项公式
（2）设 ，求数列的前n项和
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可求出的通项，利用累乘法即可求出的通项；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
由①，
当时，，
当时，②，
由①②得，
所以，
当时，上式也成立，
所以，
因为，所以，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
【小问2详解】
，
则，
，
两式相减得
，
所以.
22. 已知双曲线的右焦点为，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）焦点坐标和实轴长得到，再结合得到，即可得到双曲线方程；
（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，根据点到直线的距离公式得到点到直线的距离，然后利用三角形面积公式列方程，解方程即可.
【小问1详解】
由题意得，，则，，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，，，，
联立得，
令，解得且，
则，，
，
设点到直线的距离为，则，
所以，
解得或0（舍去），即，
所以直线的方程为或.