初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀课时练习

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀课时练习，文件包含第6讲二次根式的混合运算与化简求值docx、第6讲二次根式的混合运算与化简求值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

1．（2023秋•新蔡县期中）计算：；
【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算减法，即可解答；
【解答】解：（1）
＝3﹣2+
＝3﹣2+2
＝3；
2．（2023秋•和平区校级期中）计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；
（2）÷﹣×+．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|
＝2+1+2﹣
＝5﹣；
（2）÷﹣×+
＝﹣+4
＝﹣+4
＝4﹣2+4
＝2+4．
3．（2023秋•金塔县期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
（4）先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝9+1
＝10；
（3）原式＝
＝
＝；
（4）原式＝
＝
＝
4．（2023秋•太原期中）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简，然后合并同二次根式即可；
（2）先算乘法，再化简即可；
（3）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可；
（4）先化简，然后合并同二次根式即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣5+4
＝2；
（2）
＝
＝
＝；
（3）
＝20﹣4+1+4
＝21；
（4）
＝﹣3+5
＝．
5．（2023秋•郓城县期中）计算：
（1）﹣+；
（2）|﹣1|+﹣；
（3）+×﹣|2﹣|；
（4）﹣（+1）2﹣（+3）×（﹣3）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（4）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣+
＝3﹣2+
＝2；
（2）|﹣1|+﹣
＝﹣1+3﹣2
＝；
（3）+×﹣|2﹣|
＝2+5×﹣（﹣2）
＝2+2﹣+2
＝3+2；
（4）﹣（﹣（+3）×（﹣3）
＝﹣（4+2）﹣（5﹣9）
＝﹣4﹣2+4
＝﹣2．
6．（2023秋•太和区期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（3）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（4）先计算二次根式的乘除法，零指数幂，再算加减，即可解答；
（5）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（6）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣5
＝6﹣5
＝1；
（2）
＝+3﹣3
＝；
（3）
＝（﹣）÷
＝÷﹣÷
＝﹣
＝2﹣；
（4）
＝+1﹣
＝+1﹣4
＝﹣3；
（5）
＝﹣3+4﹣+﹣1
＝0；
（6）
＝3﹣2+2﹣（6﹣1）
＝3﹣2+2﹣5
＝﹣2．
7．（2022秋•青羊区校级期末）计算：
（1）；
（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2+﹣3+
＝3﹣2；
（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2
＝2﹣+1+﹣4
＝2﹣+1+3﹣4
＝2﹣．
8．（2023秋•锦江区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝1+|5﹣5|﹣
＝1+5﹣5﹣3
＝5﹣7；
（2）
＝3﹣4+4﹣（3﹣2）
＝3﹣4+4﹣1
＝6﹣4．
9．（2023秋•汝阳县期中）计算：（1）5；
（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）5
＝+﹣×﹣×2
＝+﹣5﹣2
＝﹣5；
（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．
＝2﹣2+1﹣[（2+3）2023（2﹣3）2023]×（2+3）
＝2﹣2+1﹣[（2+3）（2﹣3）]2023×（2+3）
＝2﹣2+1﹣（8﹣9）2023×（2+3）
＝2﹣2+1﹣（﹣1）2023×（2+3）
＝2﹣2+1﹣（﹣1）×（2+3）
＝2﹣2+1+2+3
＝6．
10．（2023秋•皇姑区校级期中）计算：
（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）．
（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2；
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）
＝3﹣（2+2+1）+3﹣1
＝3﹣2﹣2﹣1+3﹣1
＝﹣1；
（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2
＝﹣（﹣1）+1﹣（﹣5）﹣4
＝1+1﹣3+5﹣4
＝3﹣3．
11．（2023秋•潞城区校级期中）阅读与思考．
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）文中的“根据1”是 完全平方式 ，b＝ 2mn ．
（2）根据上面的思路，化简：．
（3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
（3）根据，得出a＝x2+3y2，4＝2xy，根据x，y为正整数，求出x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，最后求出a的值即可．
【解答】解：（1）的根据是完全平方公式；
∵，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
故答案为：完全平方公式；2mn．
（2）
＝
＝
＝．
（3）由题意得，
∴a＝x2+3y2，4＝2xy，
∵x，y为正整数，
∴x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，
∴a＝22+3×12＝7或a＝12+3×22＝13．
12．（2023秋•龙泉驿区期中）已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣ 的值．
【分析】（1）先利用分母有理化化简x和y，从而求出x+y和xy的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：m＝2﹣，n＝﹣1，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，
y＝＝＝2+，
∴x+y＝2﹣+2+＝4，
xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，
∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝16﹣1＝15；
（2）∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴0＜2﹣＜1，
∴2﹣的小数部分是2﹣，
∴m＝2﹣，
∵1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴2+的小数部分＝2+﹣3＝﹣1，
∴n＝﹣1，
∴（m+n）2021﹣
＝（2﹣+﹣1）2021﹣（n﹣m）
＝12021﹣[﹣1﹣（2﹣）]
＝1﹣（﹣1﹣2+）
＝1﹣+1+2﹣
＝4﹣2．
13．（2023秋•双流区校级期中）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
﹣1，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简：；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
（3）计算：+++…++．
【分析】（1）利用分母有理化进行计算，即可解答；
（2）先利用分母有理化进行化简，然后再估算出的值的范围，从而估算出2+的值的范围，进而可求出a，b的值，最后代入式子中进行计算，即可解答；
（3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）＝＝＝2+，
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴2+的整数部分是3，小数部分＝2+﹣3＝﹣1，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴a2+b2＝32+（﹣1）2＝9+3﹣2+1＝13﹣2；
（3）+++…++
＝+++…++
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
14．（2023秋•大东区期中）观察下列各式：
第一个式子：＝1＝1+（1﹣）；
第二个式子：＝1＝1+（）；
第三个式子：＝1＝1+（）；
…
（1）求第四个式子为： ；
（2）求第n个式子为： （n为正整数） （用n表示）；
（3）求+…+的值．
【分析】（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
（2）利用（1）中的发现即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）观察题中所给式子可知，
第四个式子为：．
故答案为：．
（2）由（1）中的发现可知，
第n个式子为：．
故答案为：（n为正整数）．
（3）原式＝
＝1×2022+
＝2022+1﹣
＝．
15．（2023秋•晋中期中）阅读与思考：观察下列等式：
第1个等式＝；
第2个等式；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）＝ 4﹣ ；（填计算的结果）
（2）计算：．
【分析】（1）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；
（2）利用材料的规律进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）＝＝＝4﹣，
故答案为：4﹣；
（2）
＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2023﹣1
＝2022．
16．（2023秋•郁南县期中）综合探究：
像，…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，2与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：
；
．
根据以上信息解答下列问题
（1）与 + 互为有理化因式；
（2）请你猜想＝ ﹣ ；（n为正整数）
（3） ＜ （填“＞”“＜”或“＝”）；
（4）计算：（+++…+）×（+1）．
【分析】（1）利用互为有理化因式的定义，即可解答；
（2）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；
（3）先求出它们的倒数，然后再进行比较，即可解答；
（4）利用分母有理化先化简各数，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）与+互为有理化因式，
（2）＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）∵＝＝+，
＝＝+，
+＞+，
∴＞，
∴＜，
故答案为：＜；
（4）（+++…+）×（+1）
＝[+++…+]×（+1）
＝（+++…+）×（+1）
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝×（2023﹣1）
＝×2022
＝1011．
17．（2023秋•平阴县期中）阅读下列材料，然后解决问题．
在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，＝，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．
（1）化简＝ ，＝ ，＝ ﹣ ．
（2）化简：．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝，
＝＝＝﹣，
故答案为：；；﹣；
（2）
＝+++
＝+++
＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）
＝．
18．（2023春•莱芜区月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，，，，……．
（1）利用上面的规律，计算：；
（2）请利用上面的规律，比较与的大小．
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，计算即可求出式子的值；
（2）利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）由题意得，，，
∵，
∴．
19．（2023春•宁海县期中）已知：a＝+2，b＝﹣2，求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣3ab的值；
（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
【分析】（1）代入求值即可；
（2）代入求值，可将（1）的结果代入；
（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．
【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴ab
＝（+2）（﹣2）
＝7﹣4
＝3；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，ab＝3，
∴a2+b2﹣3ab
＝a2+b2﹣2ab﹣ab
＝（a﹣b）2﹣ab
＝[（+2）﹣（﹣2）]2﹣3
＝（+2﹣+2）2﹣3
＝42﹣3
＝16﹣3
＝13；
（3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a＝+2，b＝﹣2，
∴m＝4，n＝b＝﹣2
∴
＝
＝
＝，
∴的值．
20．（2023•沈丘县校级开学）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：﹣．
【分析】（1）根据若ab＝0，则a＝0或b＝0，求出a与b，b与c的关系，进行解答即可；
（2）先根据三角形三边关系，判断a+b﹣c和a﹣b﹣c的正负，再利用二次根式的性质进行计算化简即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，a﹣b＜c，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴
＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c）
＝a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝2a﹣2c
21．（2023•江北区开学）求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【分析】（1）先求出ab和a+b的值，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化进行化简可得＝，然后估算出的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵，，
∴ab＝（﹣1）（+1）＝3﹣1＝2，a+b＝﹣1++1＝2，
∴＝＝＝＝＝4，
∴的值为4；
（2）＝＝，
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴5＜3+＜6，
∴＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为﹣2＝，
∴a＝2，b＝，
∴＝22+（1+）×2×+＝4+7﹣1+＝10+＝，
∴的值为．
22．（2023春•清江浦区期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，和、与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）计算：①＝ ，②＝ ；
（2）计算：．
【分析】（1）①分子、分母都乘即可；②分子、分母都乘即可；
（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可．
【解答】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）
＝
＝
＝2+﹣﹣1
＝1．
（2023春•珠海校级期中）观察式子：
，
反过来：，
∴，
仿照上面的例子：
（1）化简①；②；
（2）如果x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，化简．
【分析】（1）模仿示例将更号里面算式变形为完全平方式的形式进行化简；
（2）将算式变形为，再运用二次根式的性质进行化简．
【解答】解：（1）①
＝
＝
＝
＝+1；
②
＝
＝
＝
＝；
（2）∵x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，
∴
＝
＝
＝
＝+．
24．（2023春•濮阳期中）已知，，求下列代数式的值．
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）先计算a+b和a﹣b的值，将原式分解因式，再将a﹣b的值代入计算即可；
（2）将原式分解因式，再将a+b和a﹣b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴，，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝．
25．（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵＝＝5﹣x﹣2+x＝3，
∵，
∴，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求x的值．
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得2＝5，从而可得＝2.5，进而可得9+x＝6.25，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6，
∵，
∴＝2，
∴的值为2；
（2）由（1）得：﹣＝2，+＝3，
∴2＝5，
∴＝2.5，
∴9+x＝6.25，
∴x＝﹣2.75，
∴x的值为﹣2.75．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考（根据1）．
．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝ 2mn ．
这样，我就找到了一种把部分化简的方法．