人教版八年级下册18.2.1 矩形优秀课后测评

这是一份人教版八年级下册18.2.1 矩形优秀课后测评，文件包含第03讲矩形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、第03讲矩形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

知识点01 矩形的定义及其性质
矩形的定义：
有一个角是 的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
特殊性质：
②边的特殊性：邻边 。
③角的特殊性：四个角都是 。
④对角线的特殊性：对角线 。即对角线 。
即：AC BD，OA OB OC OD。
由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 。
⑤面积：等于任意一组 的乘积。
⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对边平行
【即学即练2】
2．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（ ）
A．B．2C．D．3
【即学即练3】
3．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
知识点02 直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边的中线的性质：
由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
【即学即练1】
4．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
知识点03 矩形的判定
直接判定：
有三个角（四个角）是 的四边形是矩形。
符号语言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC
∴四边形ABCD是矩形
利用平行四边形判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：∵在▱ABCD中，∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：∵在▱ABCD中，AD=BC
∴四边形ABCD是矩形
【即学即练1】
5．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
【即学即练2】
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形．
题型01 利用矩形的性质求线段或周长
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2B．C．D．3
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（ ）
A．6cmB．C．12cmD．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．12B．16C．D．
【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
题型02 利用矩形的性质求角度
【典例1】如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝50°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD交BD于点E，∠AOB＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【变式2】翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【变式3】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（ ）
A．B．C．α﹣45°D．
【变式4】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为（ ）
A．αB．45°+C．45°﹣D．90°﹣α
题型03 利用矩形的性质求点的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），则第四个顶点的坐标是 ．
【变式1】如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
【变式2】在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣6，3）B．（3，﹣6）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣3，﹣6）
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴的正半轴和负半轴上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，则点C的坐标为（ ）
B．（﹣2，﹣2）
C．D．
【变式4】在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 ．
题型04 直角三角形斜边上的中线的性质的应用
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝ ．
【变式1】如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AB的中点E处，已知AB＝6m，则点C到点E的距离是（ ）
A．6mB．2.5mC．4mD．3m
【变式2】如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小B．不变
C．变大D．先变小再变大
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 ．
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7B．8C．D．
题型05 矩形的判定与性质
【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB∥CD且AC＝BD
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 （填一个即可）．
【变式2】如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
（1）求证：四边形AEBF是矩形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．
【变式4】如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．
【变式5】如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对边平行D．对角相等
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
3．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为菱形
B．对角线AC的长度不变
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ）
A．12B．10C．7.5D．5
5．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．四个角都是是直角
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
7．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）
A．10B．8+2C．8+2D．14
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A．B．9C．D．12
9．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，公路AC与BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，M两点间的距离为 km．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为 ．
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．
17．课本在线
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证： ．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝ °．
∴AD∥BC（ ）．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴ ．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形（ ）．
18．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
19．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点．
（1）求证：FG⊥DE；
（2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度．
20．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）用含有t的代数式表示EF的长．
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
课程标准
学习目标
①矩形的定义及其性质
②直角三角形斜边上的中线的性质
③矩形的判定
理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用。
理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。
掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。