初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形优秀课时作业

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知识点01 菱形的定义与性质
分式方程的概念：
有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形。
菱形的性质：
①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。
特殊性：
②边的特殊性：四条边都 相等 。
即：AB = BC = CD = AD
③对角线的特殊性：对角线相互 垂直 且 平分 每一组对角。
即：AC ⊥ BD，且∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠DCA ＝ ∠BCA，
∠ADB ＝ ∠CDB ＝ ∠ABD ＝ ∠CBD。
④面积计算：等于对角线乘积的一半。即。
⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边平行
C．对角线互相垂直D．对角线相等
【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°，
∴点O为BD的中点，，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝9，
∴BD＝3，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD＝．
故选：C．
知识点02 菱形的判定
直接判定：
四条边都 相等 的四边形是菱形。
符号语言：∵AB = BC = CD = AD
∴四边形ABCD是菱形
平行四边形判定：
①邻边相等的平行四边形是菱形。
符号语言：∵在▱ABCD中，AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
符号语言：∵在▱ABCD中，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
【即学即练1】
4．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．
故选：B．
【即学即练2】
5．要使▱ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（ ）
A．AB＝ADB．AB⊥ADC．AD＝BCD．AC＝BD
【解答】解：A、由AB＝AD，能判定▱ABCD为菱形，故选项A符合题意；
B、由AB⊥AD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、由AD＝BC，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【即学即练3】
6．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形．
题型01 利用菱形的性质求线段或周长
【典例1】菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（ ）
A．12cmB．C．4cmD．24cm
【解答】解：如图，∵菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm，
∴AO＝4cm，BO＝5cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，AB＝＝cm，
所以，周长＝×4＝4（cm．）．
故选：C．
【变式1】若菱形的面积为216，其中一条对角线的长为24，则该菱形的周长为（ ）
A．36B．24C．48D．60
【解答】解：如图，菱形ABCD的面积为216，AC与BD交于点O，AC＝24，
∵AC⊥BD，
∴AC•BD＝×24BD＝216，
∴BD＝24，
∵∠AOB＝90°，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝9，
∴AB＝＝15，
∴菱形ABCD的周长＝15×4＝60，
故选：D．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则AD与BC之间的距离为（ ）
A．6B．C．D．4
【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OA＝AC＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AD•BE＝AC•BD，
∴5BE＝24，
∴BE＝，
故选：B．
【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
【变式4】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，
∵AB＝4，
∴AO＝AB＝2，
∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，
∴，
连接AE，
∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE，
∴，
∴EF+EG＝2，
故选：A．
题型02 利用菱形的性质求角度
【典例1】如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 70° ．
【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2，
∴∠DAB＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠2＝70°．
故答案为：70°．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是 20° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°，
∴∠OED＝90°﹣∠OEB＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【变式2】如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形ABCD和一个等边△DEF，使得点E，F分别在AB和BC上，那么∠B的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．80°
【解答】解：设∠A＝x°，
∵菱形ABCD和等边△DEF的边长相等，
∴DA＝DE，DF＝DC，
∴∠DEA＝∠A＝x°，∠C＝∠DFC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝x°，DC∥AB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝180°﹣2x°，
∵∠A+∠ADC＝180°，
∴x+180﹣2x+180﹣2x+60＝180，
∴x＝80，
∴∠A＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝100°．
故选：B．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（ ）
A．80°B．82°C．86°D．88°
【解答】解：如图，连接BD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°，
∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°，
∴∠FAD＝43°，
又∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA＝43°，
∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°，
故选：C．
【变式4】如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
故选：A．
题型03 利用菱形的性质求点的坐标
【典例1】如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴C点坐标为（2，﹣2），
故选：B．
【变式1】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是 （10，0） ．
【解答】解：∵四边形OABC是菱形，对角线OB、AC交于点D，
∴AC⊥OB，
∴∠ADO＝90°，
∵AC＝12，OB＝16，
∴AD＝CD＝AC＝6，OD＝BD＝OB＝8，
∴OA＝＝＝10，
∴A（10，0），
故答案为：（10，0）．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（4，5），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，﹣2.5）D．（﹣2，0）
【解答】解：∵A（4，5），
∴OD＝4，AD＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝5，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝3，
∴C（0，﹣3）．
故选：B．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，AD∥BC，
∴点D坐标为（2，4），
故选：A．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，AB＝BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AO⊥BC，
∴OC＝OB，
∵B的坐标是（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OC＝1，
∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴AO＝OB＝，
∵AO⊥BC，EH⊥BC，
∴EH∥AO，
∵AE＝EC，
∴CH＝OH＝OC＝，
∴EH是△AOC的中位线，
∴EH＝AO＝，
∴E的坐标是（，）．
故选：A．
题型04 菱形的判定方法
【典例1】下列说法中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故该选项符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
【变式1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（ ）
A．AB⊥BCB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AC＝BD
【解答】解：A、由AB⊥BC，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、由AB＝CD，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（ ）
A．AB＝ACB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AC＝BD
【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，
故选：B．
【变式3】如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（ ）
①AC＝BD；
②AC平分∠BAD；
③AB＝BC；
④AC⊥BD；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
综上所述，能使▱ABCD是菱形的为②③④，
故选：D．
题型05 菱形的判定与性质
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．
【解答】证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴平行四边形ADCE为菱形．
【变式1】如图，在▭ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵CF⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CFB＝∠DEC＝90°，
又∵CF＝DE，∠B＝∠DCE，
∴△BFC≌△CED （AAS），
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵△BFC≌△CED，
∴BC＝DC＝AB，
设BC＝x，
∴CD＝AB＝x，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴FB＝BC，
∴x﹣5＝x，
解得x＝10，
∴BC＝10．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE，
∵AB＝2CD，
∴2AE＝2CD，
∴AE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形AECD为菱形．
（2）解：∵AE＝CE＝DC＝4，
∴AE＝BE＝CE＝4，
∵∠CEB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，
∵∠ACE＝∠CAE，
∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∵AB＝2AE＝8，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC•AC＝×4×4＝8，
∴△ABC的面积为8．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF＝OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），
∴AF＝OA＝OC，
∵BF＝OB＝3，BE＝5，
∴EF＝，
∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，
∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠∠FEB＝∠∠AEO，
∴△AEO∽△EBF，
∴，
即，
∴AE＝10，
∴AD＝AE＝10．
【变式4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 菱形 ；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 6 ．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝ED．
（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴四边形ADCE是菱形，
故答案为菱形；
②∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∵AB＝5，
∴AC＝＝3，
∴四边形ADCE的面积为．
故答案为6．
【变式5】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为： 或4 ．
【解答】解：（1）（2）能；理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C＝30°，BC＝5，
∴AC＝10，AB＝5，
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE＝AD，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝；
即当t＝时，△DEF为等边三角形；
（2）当t＝或4时，△DEF为直角三角形．理由如下：
①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE．即10﹣2t＝2t，
∴t＝；
②∠DEF＝90°时，由（2）知EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE•cs60°．
即10﹣2t＝t，
∴t＝4；
③∠EFD＝90°时，
∵DF⊥BC，
∴点E运动到点B处，用了AB÷1＝5秒中，
同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，
点F也就和点B重合，
点D，E，F不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当t＝或4时，△DEF为直角三角形．
故答案为：或4．
1．下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C．
2．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BDB．∠C＝∠DC．∠A＝∠BD．AC⊥BD
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∵E为AB的中点，且EF＝2，
∴AB＝2EF＝4，
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝3，DB＝4，则点A到BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝＝，菱形的面积为＝6，
设点A到BC的距离为h，
∴×h＝6，
解得h＝，
∴点A到BC的距离为．
故选：C．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．8C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，
故选：D．
6．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（ ）
A．∠CEF＝αB．∠FAD＝60°﹣α
C．∠EFC＝60°﹣αD．∠AFD＝90°﹣α
【解答】解：连接AC，EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD．
∴∠B+∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAF＝α．
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，
∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∵∠AFC＝∠FAD+∠D，
∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，
∴∠CEF＝α，
不能证出∠AFD＝90°﹣α，
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（ ）
A．B．C．4D．8
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，
∴∠BAD＝60°，AD＝AB，
则△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°，
故AO＝4cs30°＝2，
∴AC＝2AO＝4．
故选：A．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DAO和△BCO中，
，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
综上所述：选择①③④，使得四边形ABCD是菱形，
故选：C．
9．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM为菱形；
乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；
根据两人的做法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【解答】解：甲：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
由作图可知，AM＝AB，BN＝AB，
∴AM＝BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AM＝AB，
∴平行四边形ABNM为菱形，故甲的作法正确；
乙：如图，设AH交BE于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BHO，
∵AH垂直平分BE，
∴BO＝EO，
又∵∠AOE＝∠HOB，
∴△AOE≌△HOB（ASA），
∴AE＝HB，
∴四边形ABHE为平行四边形，
又∵AE＝AB，
∴平行四边形ABHE为菱形，故乙的作法正确；
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，
∴AB＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB•EM＝AC•BD，
∴5EM＝×6×8，
∴EM＝．
∴PE+PF的值为．
故选：C．
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件： AD∥BC（AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等） ，使四边形ABCD成为菱形．
【解答】解：当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“AB＝CD”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，
∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“∠ADB＝∠CBD”时，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）．
12．在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长是 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的边长＝＝，
∴菱形ABCD的周长是4，
故答案为：4．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 60 ．
【解答】解：∵菱形是中心对称图形，
∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半，
∵菱形的两条对角线的长分别为10和24，
∴菱形的面积为×10×24＝120，
∴阴影部分的面积为60，
故答案为：60．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即GH的最小值为，
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 240 ．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC互相垂直平分，
∴OA＝OC＝24，
∴OB＝OD＝＝10，
∵DA∥CB，
∴∠DAB＝∠CBE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝DAB，
∵BF平分∠CBE，
∴∠FBE＝CBE，
∴∠CAB＝∠FBE，
∴AC∥FB，
∴S△CBG＝S△ABG，
∴S△ACG＝S△ABC＝×AC•OB＝×48×10＝240，
则△ACG的面积为240．
故答案为：240．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长．
【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）由（1）知四边形AEDF为菱形，
∴DF∥AB，DF＝AF，
∴＝，
∴＝，
∵AB＝9，AC＝6，
即＝，
解得：DF＝．
17．如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠OAB＝∠OCD，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°，
∴∠DCE+∠AEC＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°，
∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°，
∵∠AEC＝90°，OA＝OC，
∴OE＝AC＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝63°，
∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°，
即∠CFO的度数为99°．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∵AF＝AB，
∴BE＝AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，
又∵BF＝10，
∴BG＝FG＝5，
∴＝，
∴，
∴菱形ABEF的面积．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝10，AC＝16，BD＝12．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD．求的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝16，BD＝12，
∴AO＝CO＝AC＝8，BO＝DO＝BD＝6，
∵AD＝10，
∴AO2+DO2＝AD2，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：如图，过点O作OG∥CD，交BC于点G，
则＝＝1，
∴BG＝CG，
由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝CD＝10，∠ACD＝∠ACB，
∴BG＝CG＝BC＝5，
∵∠E＝∠ACD，∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠ACB＝∠ACD＝2∠E＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴OC＝CE＝8，
∵OG∥CD，
∴＝＝．
20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
（1）证明▱ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
课程标准
学习目标
①菱形的定义与性质
②菱形的判定
熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。
掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。