中考数学考点集训分类训练12 三角形(含答案)

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命题点1三角形的三边关系
1(2022金华)已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是( )
A.2 cmB.3 cm
C.6 cmD.13 cm
2(2022邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cmB.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cmD.6 cm,9 cm,2 cm
3(2022河北)
平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是( )
A.1B.2C.7D.8
命题点2三角形的内角和定理及其推论
4(2022安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )
A.α-90°B.α-45° C.180°-αD.270°-α
5(2022绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 .
6(2022北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
命题点3三角形中的重要线段
7(2022杭州)如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线

(第7题) (第8题)
8(2022河北)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的( )
A.中线B.中位线 C.高线D.角平分线
9(2022宁波)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE的中点.若 AE=AD,DF=2,则BD的长为( )
A.22 B.3 C.23 D.4

(第9题) (第10题)
10(2022陕西)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.32B.35C.37D.62
11(2022滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O,如图(1),将∠BOC绕点O按顺时针方向旋转,其两边分别与边AB,BC相交于点E,F,如图(2),连接EF,那么在点E由点B到点A的过程中,线段EF的中点G经过的路线是( )
图(1) 图(2)
A.线段B.圆弧
C.折线D.波浪线
12(2022南充)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点之间的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10 m(如图),则A,B两点之间的距离是 m.
13(2022北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
14(2022哈尔滨)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 度.
15(2022杭州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.
(1)求证:CE=CM.
(2)若AB=4,求线段FC的长.
命题点4与特殊三角形有关的证明与计算
16(2022天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
A.(5,4) B.(3,4)
C.(5,3) D.(4,3)

(第16题) (第17题)
17(2022湖州)如图,已知在锐角三角形ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是( )
A.12B.9C.6D.32
18(2022南充)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是( )
A.BF=1B.DC=3
C.AE=5D.AC=9
19(2022鄂州)如图,在边长为6的等边三角形ABC中,D,E分别为边BC,AC上的点,AD与BE相交于点P,若BD=CE=2,则△ABP的周长为 .
20(2022云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角的度数是 .
21(2022吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2, 0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .
22(2022扬州)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sin A 的值为 .
23(2022达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 .
分类训练12 三角形
基础分类题组
1.C 【解析】 设第三边长为x cm.∵三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,∴8-52.B
3.C 【解析】 由两点之间线段最短,得1+d+1+1>5且1+5+1+1>d,解得24.C 【解析】 如图,∵∠1=90°+∠3,∠3=90°-∠2,∴∠1=90°+90°-∠2,∴∠2=180°-∠1=180°-α.
5.10°或100° 【解析】 分2种情况讨论.①当点D在线段AB上时,如图(1).∵∠A=80°,AC=AD,∴∠ADC=12×(180°-80°)=50°,∴∠BCD=∠ADC-∠B=50°-40°=10°.②当点D在线段BA的延长线上时,如图(2).∵∠BAC=80°,∠B=40°,AC=AD,∴∠ACB=180°-80°-40°=60°,∠ACD=12∠BAC=40°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=100°.综上所述,∠BCD的度数是10°或100°.
图(1) 图(2)
6.【参考答案】 选择方法一.
∵DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠CAE=∠C,
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB+∠CAE=180°.
选择方法二.
∵CD∥AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=∠ACD+∠B+∠ACB=∠B+∠BCD=180°.
7.B
8.D 【解析】 如图,由题意可知∠1=∠2,∴折痕l是△BAC的角平分线.
9.D 【解析】 ∵点D,F分别为AC,CE的中点,∴DF是△AEC的中位线,∴AE=2DF=4,∴AD=AE=4.在Rt△ABC中,点D为斜边AC的中点,∴BD=AD=4.
10.D 【解析】 ∵BD=2CD=6,∴CD=3.∵tan C=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,AD=6,BD=6,由勾股定理可知AB=62.
11.A 【解析】 方法一:如图(1),连接BG,OG.在Rt△EBF中,BG是斜边EF上的中线,则BG=12EF.同理OG=12EF,∴BG=OG,∴点G在线段OB的垂直平分线上,∴点G的运动轨迹是线段.方法二:建立如图(2)所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,∵四边形ABCD是正方形,∴∠OAE=∠OBF=45°,OA=OB.∵∠AOB=∠EOF=90°,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF,∴AE=BF.设AE=BF=a,则F(a,0),E(0,1-a).∵EG=FG,∴G(12a,12-12a),∴点G在直线y=-x+12上,∴点G的运动轨迹是线段.
图(1) 图(2)
12.20
13.1 【解析】 如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DF=DE=1,∴S△ACD=12AC·DF=12×2×1=1.
14.40或80 【解析】 当∠ACB是钝角,即点D在线段BC的延长线上时,如图(1),则∠BAC=90°-30°-20°=40°;当∠ACB是锐角,即点D在线段BC上时,如图(2),则∠BAC=90°-30°+20°=80°.
图(1) 图(2)
15.【参考答案】 (1)证明:因为∠ACB=90°,点M为AB的中点,
所以MA=MC,
所以∠MCA=∠A=50°,
所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°.
因为∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°,
所以∠CME=∠CEM,
所以CE=CM.
(2)由题意,得CE=CM=12AB=2.
又因为EF⊥AC,
所以FC=CE·cs 30°=3.
16.D 【解析】 设AB交x轴于点C,∵OA=OB,AB⊥x轴,∴CA=CB=12AB=3,∴OC=OA2-AC2=4,∴A(4,3).
17.B 【解析】 ∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,BD=DC=12BC=3.∵∠EBC=45°,∴∠BED=45°,∴ED=BD=3,∴S△EBC=12×3×6=9.故选B.
18.A 【解析】 ∵AD平分∠BAC,DF⊥AB,DC⊥AC,∴DC=DF=3,∠DAF=∠DAE.在Rt△DCE中,由勾股定理,得CE=DE2-CD2=52-32=4.∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF=∠DAE,∴AE=DE=5,∴AC=AE+CE=5+4=9.∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B,∴tan∠CDE=tan B,∴CECD=DFBF,即43=3BF,∴BF=94.
19.42+1877 【解析】 如图,过点A作AF⊥BC于点F,则AF=ABsin 60°=33,BF=12BC=3,∴DF=BF-BD=1,∴AD=AF2+DF2=27.易证△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,BE=AD=27,∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°=∠C.又∠PBD=∠CBE,∴△PBD∽△CBE,∴BPBC=BDBE=PDEC,即BP6=227=PD2,∴BP=677,PD=277,∴AP=AD-PD=1277,∴△ABP的周长为AB+AP+BP=42+1877.
20.40°或100° 【解析】 分两种情况讨论.①当∠A是顶角时,△ABC的顶角的度数是40°;②当∠A是底角时,△ABC的顶角的度数是180°-40°×2=100°.
21.(2,0) 【解析】 ∵A(-2,0),∴OA=2.连接BC,由作图可知BC=AB.又OB⊥AC,∴OC=OA=2,∴C(2,0).
22.5-12 【解析】 在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2.又∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式两边同时除以ac,得ca=ac+1,令ac=x,则1x=x+1,∴x2+x-1=0,∴x1=5-12,x2=-5-12(舍去),∴sin A=ac=5-12.
23.50° 【解析】 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,∴∠CAB=70°,由作图可知MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=20°,∴∠CAD=70°-20°=50°.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
方法一
证明:如图,过点A作DE∥BC.
方法二
证明:如图,过点C作CD∥AB.