中考数学考点集训分类训练15 锐角三角函数(含答案)

这是一份中考数学考点集训分类训练15 锐角三角函数(含答案)，共11页。试卷主要包含了45,cs 27°≈0，44 cm，5 m,GD=2 m，D　【解析】　设AB=x，45，【参考答案】　作图如图所示等内容，欢迎下载使用。

1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是( )
A.12sin α米B.12cs α米
C.12sinα 米D.12csα 米
(第1题) (第2题)
2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cs 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)( )
cm cm
cmD. 22.44 cm
3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为( )
A.atanα-tanβB.atanβ-tanα
C.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα

(第3题) (第4题)
4(2022乐山)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= 5,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=12,tan∠ABD=13,则CD的长为( )
A.25 B.3 C. 5 D.2
5(2022益阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=45,则cs B= .

(第5题) (第6题)
6(2022常州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD= .
7(2022广州)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6.
(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交AC于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
命题点2解直角三角形的实际应用
角度1背靠背型
8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向上,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.
参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cs 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,2≈1.414)
角度2母子型
10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).
(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)
11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.
(1)求阿育王塔的高度CE;
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.
(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cs 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)
角度3拥抱型
12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,3≈1.73)
角度4实物型
13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cs 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)

图(1) 图(2)
14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.
如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cs 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
角度5其他类型
15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,3≈1.73).
分类训练15 锐角三角函数
1.A
2.B 【解析】 ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=12BC=22 cm.在Rt△ABD中,tan∠ABD=ADBD,∴AD=BD·tan∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm).
3.D 【解析】 设AB=x.在Rt△ABD中,tan β=ABBD=xBD,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt△ABC中,tan α=ABBC=xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tanα.
4.C 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵tan A=DEAE=12,tan∠ABD=DEBE=13,∴AE=2DE,BE=3DE,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt△ABC中,tan A=12,BC=5,∴BCAC=5AC=12,∴AC=25,∴AB=AC2+BC2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=AE2+DE2=22+12=5,∴CD=AC-AD=5,故选C.
5.45
6.66 【解析】 如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,则四边形ABED是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB,∠ADB=∠CBD.∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=CD2-CE2=32-22=5,∴BD=DE2+BE2=(5)2+12=6,∴sin∠ABD=ADBD=16=66.
7.【参考答案】 (1)作图如图所示.
(2)设(1)中AC的垂线交AC于点F,则OF⊥AC,
∴AF=CF=12AC=4.
又点O是AB的中点,
∴OF是△ABC的中位线,
∴OF=12BC=3,即点O到AC的距离为3.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB=AC2+BC2=82+62=10,
∴OD=5,
∴DF=OD-OF=5-3=2,
∴在Rt△CDF中,CD=DF2+CF2=22+42=25,
∴sin∠ACD=DFCD=225=55.
8.【参考答案】 如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC,
∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°,
∴∠BCD+∠BDC=90°,
∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.
在Rt△CBD中,BD=CDcs∠BDC=90cs 37°≈90×0.80=72.
在Rt△ABD中,AB=BDtanA=72tan37°≈720.75=96.
答:A,B两点间的距离为96 m.
9.【参考答案】 如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.
在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB,cs∠BAH=AHAB,
∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cs∠BAC≈100×0.643=64.3.
在Rt△BHC中,∠BCH=45°,
∴CH=BH=76.6,
∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.
答:货轮距离A港口约141海里.
10.【参考答案】 根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.
在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA,
∴PA=ACtan∠APC.
在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA,
∴PA=ABtan∠APB.
∵AC=AB+BC,
∴AB+BCtan∠APC=ABtan∠APB,
∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB=32×tan35°tan42°-tan35°≈32×(m).
答:这座山AB的高度约为112 m.
11.【参考答案】 (1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°,
∴CE=AE.
∵AB=10,
∴BE=AE-10=CE-10.
在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE=CECE-10,
得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.
答:阿育王塔的高度约为40.58 m.
(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED,
∴FGCE=GDED,即,∴ED≈54.11.
答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.
归纳总结
解直角三角形实际应用的一般步骤
①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.
②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.
③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.
④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.
12.【参考答案】 在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°,
∴AD=ABtan53°≈18.05(米).
在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°,
∴CD=AD·tan∠CAD=33AD≈10.4(米).
故办公楼的高度约为10.4米.
13.【参考答案】 在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104,
∴AE=ACsin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.
答:点A到CD的距离AE的长度约为88 cm.
14.【参考答案】 在Rt△ACO中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm,
∴OA=2AC=20 cm.
在Rt△A'DO中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm,
∴A'D=A'Osin∠A'OD≈20×0.95=19(cm).
答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19 cm.
15.【参考答案】 分别延长AB,CD与直线OF交于点G,点H,如图,
则∠AGO=∠EHO=90°.
又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG是矩形,
∴GH=AC.
由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.
在Rt△AGO中,∠AGO=90°,tan∠AOG=AGOG,
∴OG=AGtan∠AOG=60tan70°≈602.75≈21.8.
∵∠EFH是△EOF的外角,
∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°,
∴∠EOF=∠FEO,∴EF=OF=24.
在Rt△EHF中,∠EHF=90°,cs∠EFH=FHEF,
∴FH=EF·cs∠EFH=24×cs 60°=12,
∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).
答:楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m.