中考数学考点集训分类训练阶段测评4 三角形、四边形和圆(含答案)

这是一份中考数学考点集训分类训练阶段测评4 三角形、四边形和圆(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1(2022无锡)下列命题中,是真命题的是( )
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形

A.①② B.①④ C.②③ D.③④
2(2022荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
3(2022河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.6B.12C.24D.48

(第3题) (第4题)
4(2022宜宾)如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AEDF的周长是( )
A.5B.10C.15D.20
5(2022包头)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为( )
A.1∶4 B.4∶1
C.1∶2D.2∶1

(第5题) (第6题)
6(2022丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为23 m,则改建后门洞的圆弧长是( )
A.5π3 mB.8π3 m
C.10π3 mD.(5π3+2)m
7(2022宜宾)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则cs∠ADF的值为( )
A.817B.715C.1517D.815

(第7题) (第8题)
8(2022泰州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( )
A.2B.2C.22D.4
9(2022恩施州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10 cm,BC=8 cm,点P从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是 ( )
A.当t=4 s时,四边形ABMP为矩形
B.当t=5 s时,四边形CDPM为平行四边形
C.当CD=PM时,t=4 s
D.当CD=PM时,t=4 s或6 s
二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
10(2022苏州)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.

(第10题) (第11题)
11(2022常德)如图,已知F是△ABC内的一点,FD∥BC,FE∥AB,若▱BDFE的面积为2,BD=13BA,BE=14BC,则△ABC的面积是 .
12(2022成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为 .
13(2022泰安)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为 m(结果精确到0.1 m).
14(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .

(第14题) (第15题)
15(2022绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连接AC,作CD⊥AC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan∠QBE=3,连接CE,DE,当CE=DE,CE⊥DE时,BE的长是 .
三、解答题(本题有9小题,共86分)
16(8分)(2022福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC, AB=DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
17(8分)(2022鄂州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
18(8分)(2022十堰)如图,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设ACBD=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.
19(8分)(2022达州)某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC,使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为63.4°,遮阳篷BC与水平面的夹角为10°,如图为侧面示意图,请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1 m).(参考数据:sin 10°≈0.17,cs 10°≈0.98,tan 10°≈0.18;sin 63.4°≈0.89,cs 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00)
20(8分)(2022陕西)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P.
(1)求证:∠CAB=∠APB;
(2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.
21(10分)(2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)填空:∠APD= 度,∠ADC= 度;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.
22(12分)(2022安徽)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图(1),若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形.
(2)如图(2),连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(i)求∠CED的大小;
(ii)若AF=AE,求证:BE=CF.
图(1) 图(2)
23(12分)(2022荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.
(1)求证:DE是半圆O的切线;
(2)当点E落在BD上时,求x的值;
(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;
(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.
24(12分)(2022陕西)问题提出
(1)如图(1),AD是等边三角形ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为 .
问题探究
(2)如图(2),在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线 l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积.
问题解决
(3)如图(3),现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:
①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;
②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;
③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP,BP,得△ABP.
请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.
图(1) 图(2) 图(3)
阶段测评四 三角形、四边形和圆
1.B
2.B 【解析】 如图,过点C作CD∥l1,∵l1∥l2,∴l1∥l2∥CD,∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ACB=12(180°-∠BAC)=70°,∴∠1+∠2=70°.
3.C 【解析】 ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,OB=OD.又∵EC=ED,∴BC=2OE=6,∴C菱形ABCD=4×6=24,故选C.
4.B 【解析】 ∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∠B=∠EDC,∠FDB=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠FDB,∠C=∠EDC,∴BF=FD,DE=EC,∴AF+FD=AF+BF=AB,AE+DE=AE+EC=AC,∴▱AEDF的周长=AB+AC=5+5=10.
5.D 【解析】 如图,∵AMDN=BMCN=2,∠AMB=∠DNC=90°,∴△ABM∽△DCN,∴∠ABC=∠DCN,ABCD=AMDN=2,∴AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴△ABE与△CDE的周长比为2∶1.
6.C 【解析】 如图,连接AD,BC,交于点O,则点O为矩形外接圆的圆心.∵CD=2,BD=23,∴BC=CD2+BD2=4,∴OC=OD=2=CD,∴△COD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为360°-60°=300°,∴改建后门洞的圆弧长是300π×2180=103π(m).
7.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,CD=AB=5,∴∠BDC=∠DBF.由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,∴∠BDF=∠DBF,∴BF=DF.设BF=x,则DF=x,AF=5-x,在Rt△ADF中,由勾股定理可得AD2+AF2=DF2,即32+(5-x)2=x2,∴x=175,∴cs∠ADF=ADDF=3175=1517.
8.C 【解析】 如图,连接AC,AE,CF,CG.易证△ADE≌△CDG,∴AE=CG,∴d1+d2+d3=DE+CF+CG=EF+CF+AE.易知当点A,E,F,C共线时,d1+d2+d3的值最小,最小值为AC的长.∵AC=2AB=22,∴d1+d2+d3的最小值为22.
9.D 【解析】 根据题意,得DP=t,BM=t,∴AP=10-t,CM=8-t.当四边形ABMP为矩形时,AP=BM,即10-t=t,解得t=5,故选项A中的结论不正确.当四边形CDPM为平行四边形时,DP=CM,即t=8-t,解得t=4,故选项B中的结论不正确.当CD=PM时,分两种情况:①四边形CDPM是平行四边形,此时t=4;②四边形CDPM是等腰梯形,如图,过点M作MG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H,则四边形ABMG、ABCH为矩形,Rt△MGP≌Rt△CHD,∴AG=BM=t,AH=BC=8,PG=DH,∴DH=AD-AH=2,PG=AG-AP=2t-10,∴2=2t-10,解得t=6,故选项C中的结论不正确,选项D中的结论正确.
10.62 【解析】 连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=28°,∴∠B=62°,∴∠D=62°.
11.12 【解析】 如图,连接DE,CD.∵▱BDFE的面积为2,∴S△BDE=12S▱BDFE=1.∵BE=14BC,∴S△BDC=4S△BDE=4.∵BD=13BA,∴S△ABC=3S△BDC=12.
12.7 【解析】 如图,连接EC,由题意知,MN是线段BC的垂直平分线,∴CE=BE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中,AE= AC2-CE2= 52-42=3,∴AB=AE+BE=3+4=7.
13.4.4 【解析】 由题意可知AD∥CP.∵∠DPC=30°,∴∠ADB=30°,∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×33=4315(m).∵AC=AF+CF=3 m,∴BC=AC-AB=(3-4315)(m).在Rt△BCP中,∠BPC=30°,∴CP=BCtan∠BPC=3BC=33-45≈4.4(m).
14.13π+32 【解析】 如图,设O'A'与AB相交于点C,连接OC,CB,∵点O'为OB的中点,CO'⊥OB,∴CO=CB,∴CB=OC=OB=2,∴△COB为等边三角形,∴∠COB=60°,∴S弓形CB=S扇形COB-S△COB=60π×22360-34×22=23π-3,S△CO'B=12×1×2×32=32,∴S阴影部分=90π×22360-(23π-3)-32=13π+32.
归纳总结
阴影部分面积的计算方法
1.规则图形,可直接用公式求解.
2.分割求和(差)法:把图形适当分割,将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图(1),S阴影=S扇形BOC+S△COD-S△ODE.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
3.等积转化法:通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(2),点D为AB的中点,则S阴影=S△ACD.如图(3),已知扇形AOB,DO∥AB,则S阴影=S△DAB+S弓形AB=S△OAB+S弓形AB=S扇形AOB.
4.整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积.如图(4),已知▱ABCD,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,连接CE,则S阴影=S▱ABCD-S△BCE-S扇形DAE.
5.容斥原理法:当阴影部分由几个图形叠加而成时,利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和-(多加部分的面积+空白部分的面积)”求解.如图(5),阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分,则S阴影=S扇形ABE+S扇形ACD-S△ABC.
图(5)
15.5或354 【解析】 如图,过点C作AE 的垂线,垂足为F,过点D作CF的垂线,垂足为点G,连接EG.由题意可知tan∠QBE=3=CFBF,故可设BF=k,CF=3k.∵∠CAF+∠ACF=90°,∠ACF+∠DCG=90°,∴∠CAF=∠DCG.又∠AFC=∠CGD=90°,AC=CD,∴△AFC≌△CGD(AAS),∴DG=CF=3k,CG=AF=10+k.∵∠CGD=∠CED=90°,∴C,E,D,G四点共圆.∵CE=DE,CE⊥DE,∴∠EDC=45°,∴∠CGE=45°,∴EF=FG=CG-CF=10-2k.∵CF2+EF2=CE2=(22CD)2=12(DG2+CG2),∴(3k)2+(10-2k)2=12[(3k)2+(10+k)2],整理得4k2-25k+25=0,解得k=5或k=54,∴BE=BF+EF=k+10-2k=10-k=5或354.
16.【参考答案】 证明:∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.(2分)
在△ABC和△DEF中,
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D.(8分)
17.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=12AC,OD=12BD,AC=BD,
∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC.
∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,
∴DF=CF.(4分)
(2)由(1)可知,DF=CF.
又∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,
∴CD=DF=6.
∵∠BDC=∠CDF=60°,OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,
∴BC=BD2-CD2=122-62=63,
∴S矩形ABCD=BC·CD=63×6=363.(8分)
18.【参考答案】 (1)证明:连接DE,BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC.
又E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=12OA,OF=12OC,
∴EO=FO,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF. (4分)
(2)当k=2时,四边形DEBF是矩形.
理由:由(1)得四边形DEBF是平行四边形,
∴当BD=EF时,四边形DEBF是矩形,
即当OD=OE时,四边形DEBF是矩形.
∵AE=OE,
∴k=ACBD=AC2OD=AC2OE=ACOA=2,
即当k=2时,四边形DEBF是矩形.(8分)
19.【参考答案】 如图,过点C作CF⊥AD于点F,则四边形AFCE是矩形.(1分)
设CF=2x m,则AE=CF=2x m,BE=(3-2x)m.
在Rt△CDF中,tan∠CDF=CFDF=tan 63.4°≈2,
∴DF=x m,
∴EC=AF=AD+DF=(2+x)m.
在Rt△BEC中,tan∠BCE=BEEC=tan 10°≈0.18,
即3-2x2+x=0.18,
解得x≈1.21,
经检验,x=1.21是方程的解,且符合题意,
∴BE=3-2x=0.58(m).
∵sin∠BCE=BEBC≈0.17,
∴BC=≈3.4(m).
答:遮阳篷BC的长度约为3.4 m.(8分)
20.【参考答案】 (1)证明:∵AM是☉O的切线,
∴∠BAM=90°.(1分)
又∵∠CEA=90°,∴AM∥CD,∴∠CDB=∠APB.(2分)
又∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.(3分)
(2)如图,连接AD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠CDB+∠ADC=90°.
∵∠CAB+∠C=90°,∠CDB=∠CAB,
∴∠ADC=∠C,∴AD=AC=8.(5分)
又∵AB=10,∴BD=6.(6分)
易证△ADB∽△PAB,∴ABPB=BDAB,
∴PB=AB2BD=1006=503,
∴DP=503-6=323.(8分)
21.【参考答案】 (1)75 60 (4分)
(2)如图(1),过点A作AE⊥DC于点E,
图(1)
则AE=BC=100 米,EC=AB=10 米.
在Rt△AED中,∠DAE=30°,
∴DE=AE·tan 30°=100×33=10033(米),
∴CD=DE+EC=(10033+10)米,
∴楼CD的高度为(10033+10)米.(7分)
(3)如图(2),过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F,
图(2)
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10 米.
∵MN∥AE,
∴∠PAF=∠MPA=60°.
∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.
∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.
又∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,
∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD,
∴△APF≌△DAE,
∴PF=AE=100 米,
∴PG=PF+FG=100+10=110(米),
∴无人机距离地面BC的高度为110米. (10分)
22.【参考答案】 (1)证明:设CE与BD交于点O.
∵BC=CD,CE⊥BD,
∴DO=BO,∠DCO=∠BCO,
∴CE垂直平分线段BD,
∴DE=BE.
∵DE∥BC,
∴∠DEC=∠BCO,
∴∠DEC=∠DCO,
∴BC=CD=DE=BE,
∴四边形BCDE是菱形. (4分)
(2)(i)∵DE垂直平分线段AC,∴AE=CE,
∴∠AED=∠CED.
由(1)知CE垂直平分线段DB,∴DE=BE,
∴∠DEC=∠BEC,
∴∠AED=∠CED=∠BEC.
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,
∴∠CED=13×180°=60°.(8分)
(ii)证明:∵AE=EC,∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,
∴∠ACE=30°.
同理可得,∠EBD=30°,
∴∠ACE=∠ABF.
在△ACE和△ABF中,
∠ACE=∠ABF,∠CAE=∠BAF,AE=AF,
∴△ACE≌△ABF(AAS),
∴AC=AB.
又∵AE=AF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF.(12分)
23.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAO=90°.
由折叠的性质知∠DEO=∠DAO=90°,∴OE⊥DE.
又∵OE是半径,∴DE是☉O的切线.(3分)
(2)当点E落在BD上时,如图(1),
在Rt△ADB中,∠DAB=90°,AD=3,AB=4,
∴BD=AD2+AB2=32+42=5.
∵S△ADB=S△ADO+S△BDO,
∴12×3×4=12×3×x+12×5×x,
解得x=32.(6分)
(3)设AE,OD交于点J,易知OD垂直平分线段AE.
由勾股定理,得OD2=OA2+AD2=x2+9.
∵S△OAD=12OA·AD=12OD·AJ,
∴AJ2=(OA·ADOD)2=9x2x2+9,
∴AE2=4AJ2=36x2x2+9.
∵AG是半圆O的直径,∴∠AEG=90°=∠ABF.
又∵∠EAG=∠BAF,∴△AEG∽△ABF,
∴y=S△AEGS△ABF=(AEAB)2=36x2x2+916=9x24x2+36.(10分)
(4)32解法提示:当半圆O与CD切于点H时,如图(2),连接OH,则OH⊥CD,易知四边形OADH是正方形,∴x=OA=AD=3.
当半圆O经过点C时,如图(3),连接OC,则OC=OA=x,OB=4-x.
根据勾股定理,得OC2=OB2+BC2,∴x2=(4-x)2+32,解得x=258.
分析可知,当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围为3224.【参考答案】 (1)75°(2分)
(2)如图(1),连接BP.
图(1)
∵AP∥BC,AP=BC=AC,∴四边形ACBP是菱形,(3分)
∴BP=AC=6.
∵∠ACB=120°,∴∠PBE=60°.
∵l⊥BC,
∴BE=PB·cs 60°=3, PE=PB·sin 60°=33,
∴S△ABC=12BC·PE=93.(4分)
∵∠ABC=12×(180°-120°)=30°,
∴OE=BE·tan 30°=3,
∴S△OBE=12BE·OE=332,
∴S四边形OECA=S△ABC-S△OBE=1532.(6分)
(3)符合要求.(7分)
由作法,知AP=AC.
∵CD=CA,∠CAB=45°,∴∠ACD=90°.
如图(2),以AC,CD为边,作正方形ACDF,连接PF.
图(2)
∴AF=AC=AP.(9分)
∵l是CD的垂直平分线,∴l是AF的垂直平分线,
∴PF=PA,
∴△AFP为等边三角形,(10分)
∴∠FAP=60°,∴∠PAC=30°,
∴∠BAP=15°,
∴裁得的△ABP型部件符合要求.(12分)