数学人教版16.1 二次根式精品精练

这是一份数学人教版16.1 二次根式精品精练，共21页。

A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2
2．（2017上·八年级单元测试）化简的结果为（ ）
A． B．30 C． D．30
3．（2019上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
4．（2017上·八年级单元测试）下列计算不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2019下·重庆巴南·八年级统考期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2020上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
8．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022上·河南周口·九年级校联考阶段练习）若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a10．（2019下·八年级单元测试）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 .
12．（2023下·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且，则 ．
13．（2022上·湖南永州·八年级统考期末）若，则的值为 ．
14．（2020上·四川成都·八年级校考阶段练习）若，，是实数，且，则 ．
15．（2018下·重庆·八年级阶段练习）把中根号外的移入根号内得 ．
16．（2023上·四川内江·九年级校考期中）当时，多项式的值为
17．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）化简 ．
18．（2022上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·辽宁铁岭·九年级校联考阶段练习）已知 ． 求的值．
20．（8分）（2023下·河南周口·八年级统考期末）计算：
（1）（2）
21．（10分）（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
（1）；（2）（）．
22．（10分）（2023下·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
23．（10分）（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
（1）当时，的最小值为
（2）当时，的最小值为 ；
（3）当时，求的最大值．
24．（12分）（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若，，则；________；_______；
（2）小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
参考答案：
1．D
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
解：有意义，则x+1≥0且x-2≠0，
解得：x≥-1且x≠2．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
2．C
解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.
3．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
解：
故选B
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
4．D
解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确；
根据二次根式的乘法，可知，故正确；
根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确；
根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确.
故选D.
5．D
【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可．
解：原式．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键．
6．C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点拨】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
8．C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
9．B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
10．B
【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．
解：∵
=
=，
∴S=+++ …+
=
=
=100-，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．
11．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可．
解：∵
∴，
解得：，
将等式两边平方，得，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
12．2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．
解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
13．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
14．21
【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
15．
【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可．
解：根据二次根式有意义的条件可得：且
解得：
则，
故答案为：．
【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
16．
【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化．
解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：.
17．
【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到．
解：设
则
，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质．
18．33或127/127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
19．
【分析】先得到，由可得的值，进而即可求解；
解：
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查二次根式的变换求值、完全平方公式，正确进行变换是解题的关键．
20．（1）；（2）16
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解；
（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答．
（1）解：

；
（2）解：


．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，二次根式的化简，是解决问题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
（1）解：
＝
＝－＋
．
（2）解：
＝·
．
【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
23．（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当时，，则可由题中规律完成；
（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．
（1）解：当时，均为正数，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＞0时，的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当时，，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＜0时，的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴当时， ，
∴，
当且仅当，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，的最大值为，
∴当时，的最大值为．
【点拨】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
24．（1）；；（2）①见详解②③
【分析】（1）将，分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值．
（1）解：当，时，
，
．
故答案为：；；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
∵都是正数，
∴都是正数，
∴．
故答案为：；
③∵，
∴当时，取最小值，
此时，即，
整理，可得，
∴，
∵，
∴，
此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．