初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀单元测试同步训练题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀单元测试同步训练题，共31页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．3，4，5 D．7，24，25
2．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
3．以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
5．如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（ ）．

A． B． C． D．
6．如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
7．早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——勾股定理．如图，分别以的各边为边在的上方作正方形．已知（m为大于0的常数），，若图中的两个阴影三角形全等，则的值为（ ）

A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点，，若恰为等腰直角三角形，则点坐标不可能是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）．

A．10 B．50 C．10 D．70
10．如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ．
12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．

13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
14．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是 m．
15．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
16．如图所示，在的网格，依次连接、、、形成一个正方形，若以网格的底端所在直线建立数轴，每个小方格的边长为单位长度1，原点距离点一个单位长度．用圆规在点左侧的数轴上截取，则点所代表的实数是 .
17．如图，是等边三角形，为的中点，点是点关于直线的对称点，连接，，交于点．
（1）若，则 ；
（2）若点在线段上，连接，，则的最小值等于 的长度．（用图中的某一条线段表示）

18．如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，点为直线上一点，，将绕点按逆时针方向旋转一周，当时，请直接写出的长 .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.
20．（8分）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的值；
（3）若．求的面积．
21．（10分）如图，在中，，，D为边上一点，，交的延长线于点E．
（1）若，
①直接写出的度数；
②已知，求线段的长；
（2）若点D在线段上移动，是否存在一个常数k，使恒成立？若存在，请求出常数k；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上（不与点，A重合），连接，将沿折叠得到，延长交于点，连接．
（1）求证：．
（2）当点位于不同位置时，的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周长．
（3）设，，直接写出当点A，的距离最小时，的值．
23．（10分）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.
（1）当，时，求的长.
（2）请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
（3）当线段的长取最大值时，的值为__________.
24．（12分）【问题提出】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接
①求证：
②若，求的长．
【问题拓展】
（2）如图2，和都是等边三角形，连接，若，求的面积
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，逐一判断即可．
解：A、，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；
B、，是勾股数，故选项不符合题意；
C、，是勾股数，故选项不符合题意；
D、，是勾股数，故选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．先根据勾股定理求出点到y轴的距离为4，根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数即可求解．
解：∵点到轴的距离为3，到原点的距离为5，
∴点到y轴的距离为，
∵点P在第三象限，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴点P的坐标为．
故选D．
3．C
【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案．
解：在中，
∴
∴
∴在中，
∴
∴
∴，
∴；
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为，
根据勾股定理，可得另一直角边长为，
则需购买红地毯的长为，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为，
所以共需购买红地毯．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得cm，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，相减即可求解．
解：如图所示，过点作于点，

∵，
∴
∵
∴是等边三角形，则
∴
∴
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∴cm
在中，cm
∴
故选：D．
6．B
【分析】过点C作，交射线于点G．证明得到，再运用勾股定理计算即可．
解：过点C作，交射线于点G．

∴，，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴的周长为，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，灵活用勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】先证明，再由两个阴影三角形全等即可求出的长，由求出的长，即可求出答案．
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
两个阴影三角形全等，

，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．
解：由题意得，
A、∵，，
又∵，
∴为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；
B、，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
C、，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
D、，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．
9．B
【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
解：分两种情况：（其它情况与之重复）
①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，

在中，，，
根据勾股定理得：；
②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，

在中，，，
根据勾股定理得：；
蚂蚁爬行的最短距离为50．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．
10．B
【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．
解：延长交于F，过点E作于H，如图：
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵ BD平分
∴
∵，
∴
∴
设，则，
∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
11．
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可．
解：由图可知，且其边上的高为，
∴．
由图可知，
设边上的高为x，
∴，
∴，
解得：，
∴边上的高是．
故答案为：．
12．21
【分析】根据勾股定理即可解答．
解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
13．69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
14．20
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
解：，，，
，
即，两点间的距离是．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．
解：如图，
米，米，
由勾股定理得，（米）；
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了实数与数轴．由勾股定理求出的长，即可得出的长，然后分情况讨论：当原点在点左边一个单位长度时，计算出的长，即可得出点所代表的实数；当原点在点右边一个单位长度时，计算出的长，即可得出点所代表的实数．
解：由勾股定理得，，
当原点在点左边一个单位长度时，如图，
，
，
，
，
点在原点左边，
点所代表的实数是；
当原点在点右边一个单位长度时，如图，
，
，
，
，
点在原点左边，
点所代表的实数是；
综上，点所代表的实数是或；
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建线段和的最小值时点的位置是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得答案；
（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，由点是点关于直线的对称点，可得当与点关于直线的对称时，此时最短，且．
解：（1）∵是等边三角形，为的中点，，
∴，
∴，
（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，
∵，，
∴，

∵点是点关于直线的对称点，
∴当与点关于直线的对称时，
∴，，
∴，
此时最短，且，
故答案为：，
18．/
【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，分两种情况讨论，结合图形，灵活应用各性质是解题的关键．
解：①如图，过点作交于点，延长交于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
又∵是等边三角形，,
∴ ，
∴，
∴，
②如图：，过点作交于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴,
∴，
又∵,
∴,
∵是等边三角形，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
又∴,,
∴,
∴．
故答案为：或
19．
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
解：由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
20．（1）证明详见分析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形；
（2）连接，根据代数求解即可；
（3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
解：（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
又长方形，
，
，
是等腰三角形
（2）如图所示，连接，

，
（3）设，则，
在中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
21．（1）①；②；（2）存在，见分析
【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形性质及判定，勾股定理．
（1）①根据题意利用三角形内角和和等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点作，设，用含的代数式分别将表示出来，再利用勾股定理表示出，再利用面积求出的值，即可求出本题答案；
（2）过点作，根据条件求出，证明是等腰直角三角形，然后结合勾股定理即可求解．
解：（1）①解：∵，，
∴，
∵，
∴；
②解：过点作，设，
，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中应用勾股定理：
∵，
∴，即：，整理得：，
∴，
∴；
（2）解：存在常数，理由如下：
过点作，
，
∵，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：存在一个常数k，使恒成立．
22．（1）见分析；（2）的周长不变；；（3）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据折叠得出，得出，根据，得出，根据求出结果即可；
（3）点D在以C为圆心，以为半径的圆上，连接，得出当D在上时，最小，根据等腰三角形的判定和性质，求出，，最后求出即可．
解：（1）证明：∵，，，
∴，，
根据折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：的周长不变；
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
（3）解：∵，
∴点D在以C为圆心，以为半径的圆上，
∴连接，当D在上时，最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
23．（1）；（2），证明见详解；（3）
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解；
（2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证；
（3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案．
（1）解：线段，关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，即，
；
（2）解：，
证明：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
如图，作于，
线段，关于直线对称，
，
，，
，
当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，
如图，当时，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
线段，关于直线对称，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）可得，
，
，
故答案为：．
24．（1）①证明见分析；②；（2）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）①利用即可证明；②过点C作于F，由等边三角形的性质得到，则，求出，则由全等三角形的性质得到，即可证明B、D、E三点共线，在中，，则；
（2）类似证明；得到，求出，则；如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，则，，可得，根据，可得，据此计算求解即可．
解：（1）①∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点C作于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、E三点共线，
在中，，
∴；
（2）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴．