人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀单元测试当堂检测题

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀单元测试当堂检测题，共42页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
3．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（ ）
A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.6
4．如图，在中，，，点P是底边上的高上一点，若的最小值为，那么为（ ）

A． B．2 C． D．4
5．如图，在中，，D是上一点且，若，，则（ ）.

A．6 B． C．4 D．
6．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，已知线段，，点E为边上动点，则的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．6
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在四边形中，，，如果，那么的长度为 ．

12．如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ．
13．在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ．
14．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，，记的面积为，的面积为，则 ．
15．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ．
16．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ．
17．如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
18．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知为等边三角形，在上取一点（与点、不重合），以为边向外作等边，连接、，再分别以、为边向外作等边和等边，连接．
（1）求证：；
（2）记、、、的面积分别为、、、，则这四个面积之间存在怎样的数量关系式？说明理由．
20．（8分）如图，在中，，，，点在AB上，且平分，，相交于点，连接CE．
（1）直接写出，的数量关系：______；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
21．（10分）在等边的、边上各取一点、，、相交于点．
（1）若，求证：；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的边长；
（3）连结，若，，求的值．
22．（10分）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．
（1）证明：线段能组成直角三角形；
（2）当是边上的中点时，判断：的位置关系．
23．（10分）如图，在中，，平分，于点，若，，求的长．
24．（12分）已知：如图，中，，点A在轴上，点点分别在轴的负半轴与正半轴上，．
（1）求点的坐标．
（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点按顺时针顺序排列），连接，若，求值和的长．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果．
解：，平分，
，
，
，
如图，过点P作交于点D，
的角平分线相交于点P，，，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
2．D
【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．
解：过点作于点，交于点，
正方形面积为5，正方形面积为1，
，，，，
是直角三角形，，
，
，
即，
，
，
，
，
以为边长的正方形面积为10．
故选：．
3．D
【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可得垂直平分；在中，由勾股定理解得，再利用三角形面积，由，解得，易得；再证明，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得，，进而可证明为直角三角形，然后由勾股定理计算的长即可．
解：连接，交于点，如下图，
由折叠的性质可得，垂直平分，
即，，
∵，，为的中点，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，证明为直角三角形是解题关键．
4．B
【分析】作关于直线的对称线段，根据垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理计算即可．
解：如图，作关于直线的对称线段，

∵，，点P是底边上的高上一点，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点D，
则，
∴,
过点B作于点E，交于点F，
∵，
∴当P与点F重合，点D与点E重合时，取得最小值，
且最小值为，
故，
∵
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题考查了轴对称思想，等腰三角形的三线合一性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的特征，熟练掌握垂线段最短，轴对称思想，直角三角形的特征和勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】如图：过D作，设，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，再根据直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可得，即，最后代入即可解答.
解：如图：过D作，设，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.

【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键.
6．C
【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论．
解：如图，分别连接，，作，交的延长线于，

和是等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
点为中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
当取最大值时，则等于直径，
为直径，
，
四边形为矩形，
，
，
点在上，
于，
，两点重合，
此时为中点，，
．
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
7．C
【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案．
解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，
，
作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，
，
由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，
，
，
在长方形中，，，由矩形性质可得，
，
是的中点，
，
与关于的对称，
，
在长方形中，，
在中，，，，由勾股定理得到，
的最小值，
故选：C．
【点拨】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．
8．B
【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解．
解：连接，如图所示：

点、、分别是、、的中点，
，，
为等边三角形，也是等边三角形，
，
，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
在和中，
，
，
同理，可得，
，
，
，
，
，解得，
故选：B．
【点拨】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键．
9．A
【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可．
解：如图所示，作交的延长线于，作交于，

由翻折的性质可得：，
为等边三角形，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
，
解得：，
，
，
∴，
，，
设点H到的距离为h，
∵，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
10．C
【分析】以为斜边向下作等腰直角三角形，得出，进而将，用三角形的三边关系得出最小值为线段的长，进而即可得到答案．
解：如图所示，以为斜边向下作等腰直角三角形，连，

由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最小即取最小值时，E必在线段上，即最小值为线段的长，此时，

∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，作出辅助线是解决此题的关键．
11．2
【分析】过点A作于点，过点作交于点，先证明和均为等腰直角三角形，得到，然后证明，得到，再利用直角三角形的性质及勾股定理，求出，进而得到，由此即得答案．
解：如图，过点A作于点，过点作交于点，
，
，，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：2．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次根式的计算，直角三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解答本题的关键．
12．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段和差求解即可得．
解：如图，过点作，交延长线于点，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．1或
【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
解：当时，如图：
∵，
∴，
∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，
∴的面积是：；
当时，
如图，过A作于H，设，
∵，
∴，
∴，
∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴的面积是：．．
故答案为：1或．
14．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，利用勾股定理先求出，再求出，即可求出，进而求出，根据即可求解，掌握等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
解：过点作于，则，
∵，，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值．
本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
解：如图，
将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
延长，过点作于D点，
则，，，
由题意得，，
由勾股定理得．
故答案为：．
16．或
【分析】存在两种情况，一是点在边上，连接交于点，作于点，则四边形是矩形，所以，由折叠得点与点关于直线对称，则垂直平分，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则；二是点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点，则四边形为矩形，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案．
解：如图1，点在边上，连接交于点，作于点，则，
四边形是边长为的正方形，
，，
四边形是长方形，
，
由折叠得点与点关于直线对称，
垂直平分，
，，
，
，
，
，且，
，
解得：，
；
如图，点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点，
，
四边形为矩形，
，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，且，
，
解得：
，
综上所述，线段的长度为或．
故答案为：或．
【点拨】此题考查了折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用面积法构造一元一次方程，即可得出结果．
解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
∴
设点到的距离为，则
即
解得：；
故答案为．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．
18．或
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．
解：如图，当时，延长交于点，与相交于点，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，设与相交于点，
由折叠可得，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长是或，
故答案为：或．
19．（1）证明见分析；；（2），理由见分析．
【分析】（）由等边三角形的性质得出，，，再利用证明，再通过性质证明，，最后利用即可求证；
（）过作于点，利用含角直角三角形的性质和求面积的法即可求解；
此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
解：（1）∵，，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，
∴；
（2），理由，
过作于点，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
20．（1）；（2）见分析；（3），证明见分析
【分析】（1）根据题意利用角平分线性质可得，再利用三角形内角和定理即可得出，继而得到本题答案；
（2）根据题意在上取一点，使得，连接，证明，再利用全等性质及其他条件证明，再利用角度关系即可得到本题答案；
（3）由（2）知，，连接，因为角平分线性质可得，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，且平分，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：在上取一点，使得，连接，
，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接，
，
由（2）知：，
∵平分，，
∴，，
∴在中：，
∴．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线性质，垂直的定义，等腰三角形性质，全等三角形性质及判定．
21．（1）详见分析；（2）的边长为；（3）的值为或．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键，同时渗透了分类思想．
（1）利用证明，得；
（2）由（1）知，则，作于，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得出答案；
（3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比即可得出答案．
解：（1）证明：是等边三角形，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
作于，
，，
，，
，
的边长为；
（3）解：如图，当时，
，，
，
，
此时，
，则，，
，
，
的值为；
由等边三角形的对称性知，当，时，仍然有，
同理可得的值为，
综上所述：的值为或．
22．（1）证明见分析；（2），理由见分析．
【分析】（）根据勾股逆定理即可求证；
（）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证；
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴线段能组成直角三角形；
（2）解：．
理由：延长，使得，连接，

∵是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
23．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，，再证明，得到，，由平行线的性质得到，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）；（2）；（3），或，
【分析】（1）根据点C的坐标得出的长度，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据平行线的性质可知，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得出关系式；
（3）分两种情况进行讨论，当点H在x轴下方时和当点H在x轴上方时，画出辅助线，根据等边三角形的性质构建全等三角形即可进行解答．
（1）解：∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴．
（2）解：如图：
∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点H在x轴下方时，如图：在x轴上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，则，
∵为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
当时，，
根据勾股定理得：，
∴，．
当点H在x轴上方时，如图：在x轴上截取，连接，
∵，，
∴为等边三角形，则，
∵为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
当时，，
根据勾股定理得：，
∴，．
综上：，或，．
【点拨】本题主要考查了三角形的综合问题，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形三边之间关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，注意进行分类讨论．