黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间: 120分钟 分值: 150分
一、选择题：本题共8小题， 每小题5分， 共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1、已知数列{an}的通项公式an=n²+2,则123 是该数列的（ ）
A. 第12项 B.第11项 C. 第10项 D. 第9项
2、在数列{an}中, a1=1,an+1=1+1an,则a₄=（ ）
A. 2 B.32 C. 85D. 53
3、在等差数列{an}中,a₃+a8=12,则 S₁₀=（ ）
A. 16 B. 24 C. 60 D. 72
4、记Sn是数列{an}的前n项和, 设甲: {an}为等差数列; 设乙: Sn=n(a1+an)2,则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5、若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增, 则实数k的取值范围是（ ）
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C. [2,+∞) D. [1,+∞)
6、已知数列{an}满足an=12n-3,则a2-a1+a3-a2+a4-a3++…+a10-a9的值为（ ）
A.5017B. 5217 C. 5417 D. 5617
7、已知数列{an}是单调递增数列，an=m2n-1-n2,n∈N+,则实数m的取值范围为（ ）
A. (2,+∞) B. (1,2)C. 32,+∞D. (2,3)
8、已知实数x, y满足x>ey>1且y ln x-y ln y= x2ex,则xy-3x的最小值为（ ）
A.13ln3B. 3+3ln3C. - 13ln3D. 3-3ln3
二、选择题：本题共3小题， 每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9、数列-2，4，…的通项公式可能是（ ）
A. an=(-1)n2nB. an=(-1)n+12nC.an=6n-8D.an=4n-6
10、设数列{an}的前n项和为Sn,{bn}的前n项和为Tn,满足Snn=-n+b,且S₁₁=S₁₆,Tn=1-q2(q≠0且q≠1), 则（ ）
A. {an}是等差数列 B. Sn>0时, n的最大值为26
C. 若q>1, 则数列{bn}是递增数列 D. 若q=3, 则T9-T7T5-T3=81
11、已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1, 其导函数f'(x) 满足f'x-f(x)x+1>0,对于函数g(x)=f(x)ex,下列结论正确的是( )
A. 函数g(x)在(-∞,-1)上为增函数 B. x=-1是函数g(x)的极小值点
C. 函数g(x)必有2个零点D.e²f(e)>eᵉf(2)
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12、在等比数列{an}中,a₃=2,a7=18,则a₃与a7的等比中项为__________.
13、若曲线y=x³-3x²+ax+a有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为__________.
14、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等). 如取正整数m=6, 根据上述运算法则得6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足:a₁=m(m为正整数), an+1=an2，当an为偶数时3an+1，当an为奇数时，若“冰雹猜想”中a6=1,则m所有可能的取值集合为__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题13分) 正项数列{an}满足a₁=3,an+1=4an+3.
(1)证明: 数列{an+1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前 n项和Sn.
16、(本题15分) 已知函数f(x)=x(x-c)².
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在x=2处有极大值, 求f(x)在[-3,7]上的最值.
17、(本题15 分) 已知数列{an}满足1a1+2a2+…+nan=1-12n,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=[lg2an] ([x]表示不超过x的最大整数)， 求数列{bn}的前 100 项和.
18、(本题17分) 已知曲线C: x2m+y2n1的左、右焦点分别为F₁，F₂， 倾斜角为60°的直线l经过左焦点F₁.直线l与曲线C的交点为P，Q(P在x轴上方)，过点F₂作∠F₁PF₂的平分线PM的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
(1)若m=4,n=-3,求△PF₁F₂内切圆的圆心I的横坐标和OM的长；
(2)若m=9,n=5,求△PF₁F₂的面积和OM的长.
19、(本题17分) 如果无穷项的数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数 k，使得ak=ai∙aj”,则称数列{an}具有“性质P".
(1)若数列{an}是等差数列, 首项a₁=2,公差d =3, 判断数列{an}是否具有“性质P”, 并说明理由;
(2)若等差数列{an}具有“性质P”, a₁为首项, d为公差. 求证: a₁≥0且 d≥ 0;
(3)若等比数列{an}具有“性质 P”, 首项与公比均为正整数, 且216,315,414,615这四个数中恰有两个出现在{an}中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由。
数学答案
12.±6 13.-1,0 14.4,5,32
15.（1）整理an+1=4an+3得an+1+1=4an+1，即an+1+1an+1=4，令n=1，则a1+1=4，故an+1是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）由（1）得an+1=4n，即an=4n-1，根据分组求和可得Sn=41-4n1-4-n=4n+13-43-n
16.（1）fx=xx-c2，所以f'x=x-c3x-c.由x-c3x-c>0得：
若c<0，则xc3，所以函数在区间-∞,c和c3,+∞上递增，在c,c3上递减；
若c=0，则f'x≥0在R上恒成立，所以函数在-∞,+∞上递增；
若c>0，则xc，所以函数在区间-∞,c3和c,+∞上递增，在c3,c上递减.
综上，当c<0时，函数增区间为：-∞,c和c3,+∞，减区间为：c,c3；
当c=0时，函数增区间为：-∞,+∞，无减区间；
当c>0时，函数增区间为：-∞,c3和c,+∞，减区间为：c3,c.
（2）函数fx在x=2处有极大值，由（1）可知：c3=2 ⇒ c=6且函数在-3,2递增，在2,6上递减，在6,7上递增.又f-3=-243，f2=32，f6=0，f7=7.
所以fx在-3,7上的最小值为：f-3=-243；最大值为：f2=32.
17.(1)因为1a1+2a2+⋅⋅⋅+nan=1-12n①，当n≥2时，1a1+2a2+⋅⋅⋅+n-1an-1=1-12n-1②，①−②，得nan=12n，所以an=n⋅2n．当n=1时，由①得a1=2，适合上式，所以an=n⋅2n，n∈N*.
(2)由（1）得bn=lg2an=lg2n⋅2n=n+lg2n=n+lg2n，
当n=1时，lg2n=0，bn=n；当n=2,3时，lg2n=1 bn=n+1；当n=4,5,6,7时，lg2n=2，bn=n+2；当n=8,9,⋅⋅⋅,15时，lg2n=3，bn=n+3；当n=16,17,⋅⋅⋅,31时，lg2n=4，bn=n+4；当n=32,33.···,63时，lg2n=5，bn=n+5；当n=64,65,⋅⋅⋅,100时，lg2n=6，bn=n+6.
所以bn的前100项和S100=b1+b2+⋅⋅⋅+b100 =1+2+⋅⋅⋅+100+0×1+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37 =101×1002+480=5530
18.（1）由题意曲线C:x24-y23=1，则a=2,b=3,c=7,F1-7,0,F27,0.
设内切圆I分别与PF1,PF2,F1F2切于点A,B,C，则PA=PB,F1A=F1C，F2B=F2C,PF2-PF1=4，所以PF2-PF1=PB+F2B-PA+F1A=F2C-F1C
=c-xC-xC-(-c)=-2xC=4,xC=-2，即圆心I的横坐标为-2.
设F2M与PF1的延长线交于点N，则PF2=PN，所以F1N=PN-PF1=4.
因为O,M分别为F1F2,F2N的中点，所以OM=12F1N=2.

（2）曲线C:x29+y25=1，则a=3,b=5,c=2,F1-2,0,F22,0.设F2M与PF1的延长线交于点N，令PF1=t，则PF2=PN=2a-t=6-t，所以F1N=6-t-t=6-2t.
因为O,M分别为F1F2,F2N的中点，所以OM=12F1N=3-t.在△PF1F2中，由余弦定理得PF22=PF12+F1F22-2PF1⋅F1F2cs60∘，即(6-t)2=t2+42-2×4tcs60°，解得t=52，所以OM=12.在△PF1F2中，S△PF1F2=12PF1⋅F1F2sin60∘=523.

19.（1）解：若a1=2，公差d=3，则数列{an}不具有性质P．
理由如下：
由题知an=3n-1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得ak=a1a2，则有3k-1=2×5=10，解得k=113，（k不是正整数）得出矛盾，所以对任意的k∈N*，ak≠a1a2．
（2）证明：若数列{an}具有“性质P”，则：①假设a1<0，d≤0，则对任意的n∈N*，an=a1+(n-1)⋅d<0．设ak=a1×a2，则ak>0，矛盾！
②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，使得a1设a1⋅at+1=ak1，a1⋅at+2=ak2，a1⋅at+3=ak3，…，a1⋅a2t+1=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，则：0>ak1>ak2>ak3>…>akt+1，但数列{an}中仅有t项小于等于0，矛盾！
③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，使得a1>a2>a3>…>at≥0>at+1>at+2>…
设at+1⋅at+2=ak1，at+1⋅at+3=ak2，at+1⋅at+4=ak3，…，at+1⋅a2t+2=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，则：0（3）从216,315,414,615这四个数中任选两个共有以下6种情况：
216,315;216,414;216,615;315,414;315,615;414,615．①对于216,414∴414216=212为正整数，可以认为是等比数列an中的项，an=2n-1，首项的最小值为1．下面说明此数列具有“性质P”：
216=a17,414=229，任取i,j∈N*,j>i≥1，则ai⋅aj=2i-1⋅2j-1=2i+j-11-1=ai+j-1,i+j-1为正整数，因此此数列具有“性质P”，
②对于315,615∴615315=215为正整数，认为是等比数列an中的项，an=315⋅2n-1，首项的最小值为315．下面说明此数列不具有“性质P”：315=a1,615=a16，若ak=a1⋅a16=330⋅215不为等比数列{an}中的项，因此此数列不具有“性质P”．同理可得：216,315;216,615;315,414;414,615每组所在等比数列{an}不具有“性质P．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
C
D
A
C
D
AC
ABD
BD