吉林省吉林市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（B卷）

这是一份吉林省吉林市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（B卷），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2013∈[3]；
②−2∈[2]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④当且仅当“a−b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知集合A={(x,y)|x22+y23=1}，集合B={(x,y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.命题“∃x∈R，exA. ∃x∈R，ex>xB. ∀x∈R，ex≥x
C. ∃x∈R，ex≥xD. ∀x∈R，ex>x
4.已知集合A={x|x>1}，B={x|−1A. {x|x>−1}B. {x|−15.“a<0”是“函数f(x)=(x−a)2在(0,+∞)内单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要
6.若关于x的不等式(2x−1)2A. {a|537.设x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两根，则x12+x22的值为( )
A. 6B. 8C. 14D. 16
8.设全集U=R，A={x|0A. {x|1≤x<3}B. {x|1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若U=Z，A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，则( )
A. A∩B={0}B. A∪B=UC. ∁UB=AD. ∁UA⫋B
10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1+x)=f(1−x)，且对∀x1，x2∈(−∞,1)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则下列结论正确的有( )
A. f(1.2)>f(1.5)B. 2a+b=0
C. f(− 2)11.已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0)，若再添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有( )
A. abC. (a+2m)(b+m)<(a+m)(b+2m)D. ab>a+mb+m
12.下列命题正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2
B. x2=1是x=1的充分不必要条件
C. ∃x∈R，lg2x=−1
D. 设A，B为两个集合，若A不包含于B，则∃x∈A，使得x∉B
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知A={x|−114.给出下列结论：①若a>0，则a2+1>a；②若a>0，b>0，则(1a+a)(b+1b)≥4；③若a>0，b>0，则(a+b)(1a+1b)≥4；④若a∈R且a≠0，则9a+a≥6.其中恒成立的是______．
15.设m为实数，若“∃x>0,4−2x−3x+1≥m”是假命题，则m的取值范围是______．
16.已知命题p：“对任意的x∈R+,f(x)=x+1x≥m2−m恒成立”；命题q：“mx2−x+m−4=0有一正根和一负根”.若p∨q为真，￢p为真，求m的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集Y={x|x≤4}，集合A=(−2,3)，集合B=(−3,2)求
(1)(∁UA)∪B
(2)A∩(∁UB)
18.(本小题12分)
设U=R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x−2x−4<0}，C={x|a≤x≤a+1,a∈R}．
(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；
(2)若x∈B是x∈C的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|a−1(1)当a=1时，求A∪B，A⋂(∁RB)；
(2)若A⋂B=B，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A=60°，AB=3，AD=2．
(1)求sin∠ABD；
(2)若cs∠BDC=17，求△BCD的面积．
21.(本小题12分)
设m，n∈N，f(x)=(1+x)m+(1+x)n．
(1)当m=n=7时，f(x)=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求a0+a2+a4+a6．
(2)若f(x)展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
22.(本小题12分)
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
例如：设M=am，N=an，a>0，且a≠1，m，n∈R，则lgaM=m，lgaN=n.又因为aman=am+n，所以MN=am+n.即lga(MN)=lgaam+n=m+n=lgaM+lgaN．
(1)同样地，同学们可以由(am)n=amn根据所学知识推导如下的对数运算性质，或者发散自己的思维尝试利用其它的方法推导如下的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么lgaMn=nlgaM(n∈R)；
(2)请你运用(1)中的对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确；
②∵−2=5×(−1)+3，∴−2∈[3]，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a−b被5除的余数为0，
反之也成立，故当且仅当“a−b∈[0]”整数a，b属于同一“类”.故④正确．
正确的结论为①③④．
故选：C．
根据“类”的定义分别进行判断即可．
本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={(x,y)|x22+y23=1}，集合B={(x,y)|y=2x}，
作出图象如下：
由图象得A∩B中2个元素，
∴A∩B的子集的个数为22=4．
故选：D．
作出图形，数形结合求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、数形结合思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈R，ex对∀x∈R，ex≥x”，
故选：B．
根据命题否定的定义，进行求解，注意：命题的结论和已知条件都要否定；
此题主要考查命题否定的定义，此题是一道基础题；
4.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|x>1}，
∴∁RA={x|x≤1}，∵B={x|−1∴(∁RA)∩B={x|−1故选B．
已知集合A={x|x>1}，算出∁RA，然后根据交集的定义进行求解．
此题主要考查了两个知识点补集的运算和交集的运算，是一道很基础的送分题，计算时认真即可．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象性质及充分、必要条件的判定，考查数学推理能力及直观想象能力，属于基础题．
由函数f(x)=(x−a)2在(0,+∞)内单调递增，结合二次函数图象可得a的取值范围，然后可解决此题．
【解答】
解：由函数f(x)=(x−a)2在(0,+∞)内单调递增，
结合二次函数图象可得a的取值范围是：a≤0，
∴“a<0”是“函数f(x)=(x−a)2在(0,+∞)内单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：原不等式可化简为(4−a)x2−4x+1<0，
则4−a>04a>0，解得0此时不等式的解集12+ a因为14<12+ a<12，
故应有1，2，3为所求的整数解，
所以3<12− a≤4，
解得259故选：D．
先判断a的正负，解不等式，根据解集内整数的个数要求可建立关于a的不等式，可求．
本题主要考查了二次不等式的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两根，
则x1+x2=2，x1x2=−5，
故x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4+10=14．
故选：C．
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB，
全集U=R，A={x|0则A∩∁UB={x|1≤x≤3}，
故选：D．
图中阴影部分表示的集合A∩∁UB，结合已知中的集合A，B，可得答案．
本题考查集合的运算，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：集合A为偶数集，集合B为奇数集，集合A与集合B的交集为空集，故选项A错误；
集合A与集合B的并集为整数集，故选项B与选项C正确；
由于CUA=B，集合B是集合B的子集，不是真子集，故选项D错误．
故选：BC．
集合A为偶数集，集合B为奇数集，逐个分析选项即可得到答案．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1+x)=f(1−x)，
即函数的图象关于x=1对称，故−b2a=1，
所以b+2a=0，B正确；
对∀x1，x2∈(−∞,1)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，
所以a<0，b=−2a>0，但c的正负无法确定，D错误；
根据函数的对称性可知，f(x)在(1,+∞)上单调递减，
则f(1.2)>f(1.5)，A正确，
又f(− 2)=f(2+ 2)故选：ABC．
由已知结合二次函数的对称性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次函数的对称性及单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：根据题意，bg糖水中含有ag糖，此时糖水中含糖浓度为ab，
若再添加mg(m>0)糖完全溶解在其中，则糖水中含糖浓度为a+mb+m，
因为糖水变得更甜了，
所以ab又因为0由ab(a+m)(b+2m)，故C错误，
故选：AB．
根据题意，用a，b，m表示加入mg糖之前之后的浓度，构造不等式可得ab本题主要考查了不等式的应用，注意结合题意提炼不等关系和不等式，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：取a=0，b=−1，可知“若a>b，则a2>b2“不正确，所以A不正确；
由x2=1可得x=1或x=−1，所以x2=1是x=1的必要不充分条件，所以B不正确；
当x=12时，lg2x=−1，所以C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．
故选：CD．
利用特殊值可判断A和C，再根据充分不必要条件的定义可判断B，由集合间的基本关系可判断选项D．
本题考查不等式性质，充要条件的判定，集合间的包含关系，属基础题．
13.【答案】(−∞,−12]∪(3，+∞)
【解析】解：∁RA={x|x≤−1或x>3}=(−∞,−1]∪(3，+∞)，
由B⊆∁RA，可分以下两种情况：
①当B=⌀时，m≥1+3m，解得m≤−12，
②当B≠⌀时，m<1+3m1+3m≤−1或m>3，解得m>3；
综上，m的取值范围是(−∞,−12]∪(3，+∞)．
故答案为：(−∞,−12]∪(3，+∞)．
求出∁RA，根据B⊆∁RA，讨论B=⌀和B≠⌀时，分别求出m的取值范围．
本题考查了集合的运算，集合与集合的关系，是基础题．
14.【答案】①②③
【解析】解：因为a2+1−a=(a−12)2+34>0，所以a2+1>a，故①恒成立；
因为a>0，所以1a+a≥2，当且仅当a=1时，等号成立，
因为b>0，所以b+1b≥2，当且仅当b=1时，等号成立，
所以当a>0，b>0时，(1a+a)(b+1b)≥4，故②恒成立；
因为(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab，又因为a>0，b>0，
所以ba+ab≥2 ba⋅ab=2，所以(a+b)(1a+1b)≥4，故③恒成立；
因为a∈R且a≠0，当a<0时，9a+a<0，所以9a+a≥6是错误的．
故答案为：①②③．
根据配方法判断①；根据基本不等式判断②③④．
本题主要考查根据基本不等式判断所给不等式是否正确，属于基础题．
15.【答案】(6−2 6,+∞)
【解析】解：因为“∃x>0,4−2x−3x+1≥m”是假命题，
所以“∀x>0，4−2x−3x+1因为x>0，2x+3x+1=2(x+1)+3x+1−2≥2 2(x+1)⋅3x+1−2=2 6−2，当且仅当2(x+1)=3x+1，即x= 6−22时等号成立，
所以，y=4−2x−3x+1<4−(2 6−2)=6−2 6，即(4−2x−3x+1)max=6−2 6，
所以，m的取值范围是(6−2 6,+∞)．
故答案为：(6−2 6,+∞)．
由题知“∀x>0，4−2x−3x+10的最大值即可得答案．
本题考查了转化思想、利用基本不等式求最值，属于中档题．
16.【答案】(2,4)
【解析】解：∵命题p：“对任意的x∈R+,f(x)=x+1x≥m2−m恒成立”，
∴x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号．
故m2−m−2≤0，解得−1≤m≤2．
∵命题q：“mx2−x+m−4=0有一正根和一负根”，
∴设f(x)=mx2−x+m−4，
若m>0，则满足f(0)<0，即m>0m−4<0，解得0若m<0，则满足f(0)>0，即m<0m−4>0，此时无解．
综上0又∵p∨q为真，非p为真，
∴p假，q真，即m>2或m<−10∴m∈(2,4)．
故答案为：(2,4)．
利用基本不等式即可求出m的范围，讨论分m>0和m<0，求解m的范围，再结合已知条件可得p假，q真，即可求出m的取值范围．
本题主要考查复合命题的判定，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键，是中档题．
17.【答案】解：(1)全集U={x|x≤4}，集合A=(−2,3)，
∴∁UA=(−∞,−2]∪[3,4]；
又集合B=(−3,2)，
∴(∁UA)∪B═(−∞,2)∪[3，4]；
(2)∁UB=(−∞,−3]∪[2,4]，
∴A∩(∁UB)=[2,3)．
【解析】(1)根据补集与并集的定义，进行计算即可；
(2)根据补集与交集的定义，计算即可得出结论．
本题考查了交集、并集和补集的定义与应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：(1)由x2−4x+3≤0，得(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤3，
所以A={x|1≤x≤3}，
由x−2x−4<0，得(x−2)(x−4)<0，解得2所以A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|2所以∁UB={x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁UB)={x|x≤3或x≥4}．
(2)由(1)知，B={x|2因为x∈B是x∈C的必要不充分条件，所以C⫋B，
当C≠⌀时，所以a>2a+1<4，解得2当C=⌀时，a>a+1，得 0>1，显然不成立，
所以实数a的取值范围为(2,3)．
【解析】(1)利用一元二次不等式和分式不等式的解法，结合集合的交集、并集及补集的定义即可求解；
(2)根据已知条件将问题转化为真子集关系，再利用真子集的定义即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)解不等式x2−4x−12≤0，得−2≤x≤6，即A={x|−2≤x≤6}．
当a=1时，B={x|0又∁RB={x|x≤0或x≥5}，所以A∩(∁RB)={x|−2≤x≤0或5≤x≤6}．
(2)由(1)知，A={x|−2≤x≤6}，由A⋂B=B，得B⊆A．
当a−1≥3a+2，即a≤−32时，B=⌀，满足B⊆A，因此a≤−32；
当a−1<3a+2，即a>−32时，B≠⌀，
则a−1≥−23a+2≤6，解得−1≤a≤43，因此−1≤a≤43．
则a≤−32或−1≤a≤43，所以实数a的取值范围(−∞,−32]∪[−1,43].
【解析】(1)当a=1时，求出集合B，并求出集合A，利用并集的定义可求出集合A∪B，利用补集和交集的定义可求出集合A⋂(∁RB)；
(2)分析可知B⊆A，分B=⌀、B≠⌀两种情况讨论，根据B⊆A列出关于实数a的不等式(组)，综合可得出实数a的取值范围．
本题考查集合的运算，由集合之间的关系确定参数的范围，属于基础题．
20.【答案】解：(1)如图，在△ABD中，∠A=60°，AB=3，AD=2，

由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=32+22−2×3×2×12=9+4−6=7，
解得BD= 7，
因为BDsinA=ADsin∠ABD，
所以sin∠ABD=AD⋅sinABD=2× 32 7= 3 7= 217；
(2)因为AB⊥BC，
所以∠ABC=90°，
所以cs∠DBC=sin∠ABD= 3 7，
所以sin∠DBC=2 7．
因为cs∠BDC=17，
所以sin∠BDC=4 37．
可得sinC=sin(∠BDC+∠DBC)
=sin∠BDCcs∠DBC+cs∠BDCsin∠DBC
=4 37× 3 7+17×2 7
=2 7，
所以sin∠DBC=sinC，
可得∠DBC=∠C，
可得△DBC中，DC=BD= 7，
所以S△BCD=12DC⋅BD⋅sin∠BDC=12× 7× 7×4 37=2 3．
【解析】(1)由已知在△ABD中利用余弦定理得BD的值，进而利用正弦定理即可求解；
(2)由题意利用同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理以及两角和的正弦公式可求sinC的值，可求∠DBC=∠C，可求DC=BD= 7，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当m=n=7时，f(x)=(1+x)7+(1+x)7．
令x=1，得27+27=a7+a6+⋯+a1+a0;
x=−1，0=−a7+a6−a5+a4⋯−a1+a0．
两式相加，得a0+a2+a4+a6=128；
(2)有题设知，m+n=19
x2的系数为：Cm2+Cn2
=12m(m−1)+12n(n−1)
=12[(m+n)2−2mn−(m+n)]
=171−(19−n)n
=(n−192)2+3234
所以，当n=10或n=9时，f(x)展开式中x2的系数最小，为81．
【解析】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确利用二项式的展开式，本题还结合二次函数的性质，是一个综合题目．
(1)分别给f(x)中的x赋值1，−1，两个式子相加求出a0+a2+a4+a6;
(2)由已知得到m，n满足的条件，利用二项展开式的通项公式求出展开式中x2的系数，通过代入消元得到关于n的二次函数，将二次函数配方求出最小值．
22.【答案】解：(1)因为a>0，且a≠1，M>0，设x=lgaM，所以M=ax，
所以Mn=(ax)n=anx，
所以lgaMn=lgaanx=nx=nlgaM，
即lgaMn=nlgaM(n∈R)；
(2)lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2⋅17lg26lg3=1712．
【解析】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
(1)设x=lgaM，改写为指数式M=ax，乘方得Mn=(ax)n=anx，再两边取对数可得；
(2)由对数运算法则计算．