山西省2024届高三第二次学业质量评价数学试题

这是一份山西省2024届高三第二次学业质量评价数学试题，共18页。试卷主要包含了方程的实数根的个数为，已知，，则的最小值为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2024年3月5日下午14：30—16：30试卷满分：150分考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“,”的否定是（ ）
A．“,”B．“,”
C．“,”D．“,”
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为实数，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则与异面
D．若，，，则与相交
5．方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
6．从集合中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则的最小值为（ ）
A．-4B．-3C．D．2
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与轴交于点，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A．这组数据的众数为1B．这组数据的极差为2
C．这组数据的平均数为2D．这组数据的40%分位数为1
10．已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是偶函数
C．在区间上单调递减
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
11．在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（ ）
A．该正四棱台的高为3
B．该正四棱台的侧面面积是
C．球心到正四棱台底面的距离为
D．动点的轨迹长度是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式展开式中常数项为______．
13．写出一个过点且与圆相切的直线方程______．
14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，若为的角平分线，则直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：
（1）完善列联表并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？
（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且．
（1）探究数列的单调性；
（2）证明：．
18．（本小题满分17分）
已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且．
（1）求|AB|的取值范围；
（2）过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知函数，且与轴相切于坐标原点．
（1）求实数的值及的最大值；
（2）证明：当时，；
（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．性别
喜欢情况
合计
喜欢
不喜欢
男同学
60
女同学
20
合计
60
140
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
2024届山西高三第二次学业质量评价
数学试题参考答案及多维细目表
1．【答案】C
【解析】依题意全称命题“，”的否定为特称命题“，”
2．【答案】B
【解析】由题意可得．
3．【答案】B
【解析】由，
为实数，，解得．
4．【答案】A
【解析】对于A，根据面面垂直的性质定理可得A正确；
对于B，若，，，则，或与异面，故B错误；
对于C，若，，则，或与异面，故C错误；
对于D，若，，，则，或与异面，或与相交，故D错误．
5．【答案】C
【解析】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象，当时，；当时，．根据图象可得两个函数共有11个交点．
6．【答案】D
【解析】由题知和为2的倍数的有（1，3），（1，5），
（1，7），（3，5），（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（2，8），
（4，6），（4，8），（6，8）共12种可能，．
7．【答案】C
【解析】，，
，
又，
，即，
．
，，
当且仅当，即等号成立，
的最小值为．
8．【答案】D
【解析】，，
，即，
又，
，
即，，
又，，
又，，
即，
，，
．
9．【答案】ACD
【解析】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．对于A，该组数据的众数为1，故A正确；对于B，极差为，故B错误；
对于C，平均数为，故C正确；
对于D，，这组数据的分位数为第4个数1，故D正确．
10．【答案】AC
【解析】由0，故A正确；
向右平移个单位长度后得，为奇函数，故B错误；
当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，解得或，，在区间上与有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：，，，，，，而第7个交点的横坐标为，，故D错误．
11．【答案】BC
【解析】对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，则平面，过点作于点，则平面，，，，，，，故，，，，由公股定理得，故A错误；
对于B，过点作于点，则，故，正四棱台的侧面面积是，故B正确；
对于C，正四棱台的外接球球心在直线上，连接，，则，如图所示．
设，则，
由勾股定理得，，，解得，故C正确；
对于D，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，如图，
其中，故，又，
由勾股定理得，
由于，，故，故动点的轨迹长度是，故D错误．
12．【答案】28
【解析】的展开式的通项公式为
，
令，解得，故的展开式中常数项为．
13．【答案】或（答案不唯一，写出一个即可得分）
【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆，当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为．
14．【答案】
【解析】由题意得抛物线方程为，故设直线的方程为，不妨设，
联立，可得，且，设，，则，，
则，，
则，
，
由正弦定理得，，
为的角平分线，
即，又，
，，
即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
故直线的斜率为．
同理，根据对称性可知，当时，直线的斜率为．
综上所述，直线的斜率为．
15．解：（1）完善列联表如下：
零假设为：该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关．
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随机抽取10人，则抽取的人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3，不喜欢吃山西大同刀削面的人数为7，故的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，故的分布列为
则
16．证明：（1）由题意可得，
，
，即．
又点在平面内的投影为点，
即平面，
又平面，，
又，，平面，
平面．
（2）由（1）可得，，两两垂直，建立以为原点如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有
直线与平面所成角的正弦值为
．
17．解：（1）由题意可得，
故，
即，故数列中，且从第二项起单调递减．
（2）证法一：由题意可得
，
，
有，
即，
令，
则，
则有，
即有，
即，
故
，
又，故，
即．
证法二：不妨设，且，，
则
则解得
，
那么
．
18．解：（1）设，，易知，联立
消去，得．
，，
，
．
．
又，
，
（2）解法一：设直线的倾斜角为，则．
由（1）知．
直线的倾斜角为，
同理可知．
，
．
令，则．
，
当时，取最大值．
解法二：依题意，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，
直线的斜率存在．
不妨设直线的方程：，且，
．
由（1）同理得，
又，
令，，
，
解方程，得．
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，．
，时，，
，
．
19．解：（1）由题意知，且，
，
，解得，
，
，
当时，，．故，
在区间上单调递减，
．
当时，令，
则，
，，
在区间上单调递减，
则，
在区间上单调递增，
则．
综上所述，，的最大值为0．
（2）证明：，要证，即证，
记，
当时，，，
；
当时，，
记，
则，
在区间上单调递减，
则，
则在区间上单调递减，
，
综上所述，当时，．
（3）设，
，
当时，由（1）知，
故，
故在区间上无实数根．
当时，，因此0为的一个实数根．
当时，单调递减，又，，
存在，使得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，，
又，
在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．
当时，，
令，
，
故在区间上单调递减，，
于是恒成立．故在区间上无实数根，综上所述，有2个不相等的实数根．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
B
A
C
D
题号
7
8
9
10
11
答案
C
D
ACD
AC
BC
性别
喜欢情况
合计
喜欢
不喜欢
男同学
40
60
100
女同学
20
80
100
合计
60
140
200
0
1
2
3