浙江省强基联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题

这是一份浙江省强基联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若，则“”是“”的，的展开式中，的系数为，有两组样本数据，已知的内角，，的对边分别是，，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知是虚数单位，则（ ）
A.B.C.D.
3.现有一项需要用时两天的活动，每天要从5人中安排2人参加，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A.20种B.10种C.8种D.6种
4.已知，，则（ ）
A.B.
C.D.
5.若，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.的展开式中，的系数为（ ）
A.2B.C.8D.10
7.已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A.以为周期B.最大值是1
C.在区间上单调递减D.既不是奇函数也不是偶函数
8.设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ ）
A.样本平均数相同B.样本中位数相同
C.样本方差相同D.样本极差相同
10.已知的内角，，的对边分别是，，.（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，，成等比数列，则
D.若，，成等差数列，则
11.已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（ ）
A.截面多边形的周长为
B.截面多边形的面积为
C.截面多边形存在外接圆
D.截面所在平面与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则实数________.
13.点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________.
14.用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
16.（本题满分15分）
小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响.
（Ⅰ）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
（Ⅱ）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望.
17.（本题满分15分）
如图，在四棱雉中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.
（Ⅰ）证明：.
（Ⅱ）点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱雉的体积.
18.（本题满分17分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率.
（Ⅱ）若，求点的坐标.
（Ⅲ）若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
19.（本题满分17分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，记函数的导数为，求的值.
（Ⅱ）当，时，证明：.
（Ⅲ）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值.
（注：是自然对数的底数）
浙江强基联盟2023学年第二学期高三3月联考数学学科
参考解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
CBDD，CADA
7.解：令，，
，，；，，
由以上3式，得到.因此选D.
8.解：设，，，则直线方程为：，
由得带入直线方程得到
，即直线过点
关于点的对称点即为点在抛物线上，代入得，因此选A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全选对得6分，部分对得部分分，有错误得0分.
9.CD.
10.ACD.D选项，由得到
11.AB.连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形.由，为中点，，因此周长为，故A正确.同理B正确.这个五边形没有外接圆，因此C错误.截面与底面所成角的正弦值为，因此D错误.因此选AB.
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
12.13.14.，
，，∴，
由得
由，得到，则.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
解：（Ⅰ）…………………………5分
（Ⅱ）………………9分
所以所求的单调增区间为…………………………13分
16.（本题满分15分）
解：记事：两轮猜谜中，小强猜中第个；事件：两轮猜谜中，小基猜中第个.
（Ⅰ）…………………………5分
（Ⅱ）“联盟队”两轮得分之和
所以“联盟队”两轮得分之和的分布列为
所求数学期望……………………………………15分
17.（本题满分15分）
解：（Ⅰ）由，∴，由平面平面
平面平面，
∴面∴………………………………5分
（Ⅱ）解法一：
取中点，连，，
∴，，∴面
作于，连
∴，∴面
∴是与面所成的角
设，，
∴，，∴
所以或，，
所以四棱锥的体积为或.………………………………15分
解法二：
以点为坐标原点，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
∴，，，，设，则∴
，∴
设面的一个法向量为∴代入得
∴
以下同解法一.
18.（本题满分17分）
解：（Ⅰ）椭圆的离心率为………………………………3分
（Ⅱ）设，直线交轴于点，由，∴
∴或……………………………………9分
（Ⅲ），，，∴代入得：
，设，
∴，∴，
∴.
代入得：
，
∴，∴，
∴
∴，∴
∴
即直线方程为：
恒过定点为…………………………………………12分
19.（本题满分17分）
解：（Ⅰ）当时，∴∴………………………………4分
（Ⅱ）时，∴
由∴∴
∴在上单调递增，∴，得证………………10分
（Ⅲ）当，
，所以在上递增，，上递减
由题意，得到
由得到，记
则
，∴在上递减，在上递增.
∴
当时，
∴…………………………………………17分0
1
2
3
4
6