专题05 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题） 高考数学压轴题（新高考版）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9933" ①导函数有效部分为一次型 PAGEREF _Tc9933 \h 1
\l "_Tc21490" ②导函数有效部分为类一次型 PAGEREF _Tc21490 \h 3
\l "_Tc10054" ③导函数有效部分为可因式分解的二次型 PAGEREF _Tc10054 \h 4
\l "_Tc4789" 角度1：最高项系数含参 PAGEREF _Tc4789 \h 4
\l "_Tc32535" 角度2：最高项系数不含参 PAGEREF _Tc32535 \h 8
\l "_Tc20755" ④导函数有效部分为可因式分解的类二次型 PAGEREF _Tc20755 \h 12
\l "_Tc27687" ⑤导函数有效部分为不可因式分解的二次型 PAGEREF _Tc27687 \h 14
①导函数有效部分为一次型
1．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为，则.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由，可得，由，可得.
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
2．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间：
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），，又，
所以所求切线方程为；
（2）
时，时，，是增函数，时，，是减函数，
时，时，，是减函数，时，，是增函数，
所以当时，增区间是，减区间是；
当时，减区间是，增区间是；
3．（2023春·吉林四平·高一四平市实验中学校考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），，
，
时，，函数在上单调递增；
时，，
时，，函数单调递增；,时，，函数单调递减．
综上可得：时，函数在上单调递增；
时，时，函数单调递增；,时，函数单调递减．
4．（2023春·山东烟台·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，
当时，单调递减，时，单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
②导函数有效部分为类一次型
1．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知函数R.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为R,
，
当时，由，在R上单调递增，
当时，令，可得，令，可得，
∴单调递减区间为，单调递增区间为，
∴当时，在R上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由，得，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
，，单调递减；
3．（2023春·广西·高二校联考期中）已知（e为自然对数的底数）
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），
当时，，在上是减函数；
当时，令，得，在上是减函数，在上是增函数；
综上所述，当时，，在上是减函数；当时，递减区间为，单调递增区间为
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】，.
当时，恒成立，则在单调递增.
当时，令，得，
令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为．求的值；
【答案】
【详解】由题可知,
令，解得；令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
③导函数有效部分为可因式分解的二次型
角度1：最高项系数含参
1．（2023春·青海西宁·高二统考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)的极大值为，无极小值．
(2)见解析
【详解】（1）当时，，
，
令得，
所以当上，在单调递增，
在上，在单调递减，
所以当时，，无极小值．
（2），
令，，
当时，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当时，令得或2，
若，即时，在上，，单调递增，
若，即时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
若，即时，在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
在上，，单调递增，
当时，令得或2，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在,上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在,上单调递减，在上单调递增．
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）时，，定义域为，
，，
所以切线方程为：，
即.
（2）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，
①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2023春·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）定义域：，
1° 时，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
2° 时
①当时，即时，
令，解得或；令，解得；
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；
②当时，即时，
恒成立，所以在上单调递增；
③当时，即时，
令，解得或；令，解得；
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
综上所述：
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
4．（2023春·湖南·高二统考期末）已知函数，其中为小于0的常数.
(1)试讨论的单调性；
【答案】(1)在上单调递减.，在上单调递增；
【详解】（1）.
因为，所以.于是
时，在上单调递增；
时，在上单调递减.
5．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考阶段练习）已知函数．
(1)试讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
①当时，恒成立，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
②当时，恒成立，
在上单调递增；
③当时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
④当时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
角度2：最高项系数不含参
1．（2023春·高二课时练习）已知函数．若，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】由题意得：定义域为，；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】，
，，
且，
①当时，，
或时，，单调递增，
时，，单调递减；
②当时，，
或时，，单调递增，
时，，单调递减；
③当时，，
时，，单调递减，
，，单调递增；
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减.
3．（2023春·重庆·高二校联考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)当时，取得极大值3，当时，取得极小值
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
则，
令，得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
（2），
令，则或，
当时，
，，，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当时，
，，，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增；
综上所述，
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
4．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论的单调性.
【答案】(1)极小值为1，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）当，，定义域为，
则.
由可得，.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，的极小值为，无极大值.
（2）由已知可得定义域为，
且.
由可得，或.
①当，即时，
由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减；
②当，即时，，所以在上单调递增；
③当，即时，
由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中常数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】，由知，
当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数．
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数．
④导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）的定义域为，
令，得或，
当时，在上恒成立，单调递增，
当时，在上，单调递增，
在上，单调递减， 在上，单调递增，
当时，在上，单调递增，
在上，单调递减，在上，单调递增，
综上所述， 当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
2．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）的定义域为，
（i）若，则，由得.
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
（ii）若，则由得.
①当时，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减.
②当时，则，此时，所以在单调递减.
③当时，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性并求极值；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由，
则，易知导函数中恒成立，
①当时，恒成立，所以在上有，
所以在上单调递减；在上无极值，
②当时，令，令，解得，
所以在上，单调递减，在上，单调递增.
即在上的极小值为，无极大值；
综上可知，当时，在上单调递减，无极值；
当时，在上递减，在上递增，极小值为，无极大值；
4．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意可知的定义域为，
，
当时，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增；
当时，令解得，，
①当，即时，
恒成立，所以在上单调递增，
②当，即时，
当时，，单调递减，当或时，，单调递增，
③当，即时，
当时，，单调递减，当或时，，单调递增，
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
⑤导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）的定义域是，，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，则，显然成立，
解得：，，
当时，；当时，，
的增区间是和，减区间是．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，
故曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以
当，即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当，即或时，
令，则，，
若，则，
在上恒成立，
所以在上单调递增；
若，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，
①当时，在上单调递增；
②当时，的单调递增区间为（0，）和（，+∞），
单调递减区间为（，）．
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】函数的定义域为，
求导得，
令，得，其中.
当时，，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递增；
当时，，由得，，
所以或时，；时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．讨论当时，单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知
对于二次函数．
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，
当时，在单调递增；
当时，在和单调递减
综上：当时在（0，＋∞）单调递减
当时在单调递增；在和上单调递减．