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专题22 椭圆（解答题压轴题） 高考数学压轴题（新高考版）
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这是一份专题22 椭圆（解答题压轴题） 高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题22椭圆解答题压轴题教师版docx、专题22椭圆解答题压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1884" ①椭圆的弦长（焦点弦）问题 PAGEREF _Tc1884 \h 1
\l "_Tc15792" ②椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc15792 \h 10
\l "_Tc29964" ③椭圆中的面积问题 PAGEREF _Tc29964 \h 15
\l "_Tc158" ④椭圆中的参数和范围问题 PAGEREF _Tc158 \h 22
\l "_Tc18149" ⑤椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc18149 \h 28
\l "_Tc32588" ⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc32588 \h 35
\l "_Tc8656" ⑦椭圆中向量问题 PAGEREF _Tc8656 \h 42
\l "_Tc20166" ⑧椭圆综合问题 PAGEREF _Tc20166 \h 48
①椭圆的弦长（焦点弦）问题
1．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）设交点坐标，
因为弦被点平分，
所以
又，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
（2）由（1）可知，与椭圆方程联立，
所以，
由弦长公式可知.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，
解得．
所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，
即．
又因为，所以，
所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，
因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，
解得．
设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
3．（2023春·上海·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率
(3)求直线被椭圆截得的弦长.
【答案】(1)
(2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率
(3)
【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形，
所以，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由（1）可得：，
故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率.
（3）设交点，
联立方程，消去y得，
则，
所以．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于，两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，
所以设直线，
联立方程，得，
所以，
，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
5．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆中心在原点上，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，且，求的值；
(3)在（2）的结论下，求的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，所以设椭圆的方程为：，
，又椭圆上一点到两焦点的距离和为，所以，，
所以，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由（1）知，椭圆的方程为：，即：，
设，，有：，得：，
又，所以，的斜率之积为，即：，
即：，又：，所以：，
整理得：，又：，，
即有：，整理得：，所以.
（3），
当时：直线方程为：，联立方程组得：，
解得：，
所以：，
所以：，
由对称性可知：当时，也有，
所以：.
6．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的离心率为e，且过点和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：，∴
，∴，所以椭圆；
（2）法一 设及AB中点，由题意知
，，以上两式相减得：，
可化为：即，故，
又∵M在直线上，所以，解得：，
即，直线，化简为：
联立 整理得：，由韦达定理知
由弦长公式得：．
法二 设直线，
联立， 整理得：
，则中点，满足直线方程，解得
所以AB：
联立 整理得：，由韦达定理知
由弦长公式得：．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，，，
的最大面积为，，
，
，
椭圆的方程为；
（2）由题知，设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
∴，得，
，，
∴，
设，，
由复合函数的单调性知：
在上单调递增，在单调递减，
∴当时，，
故.
8．（2023·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
②椭圆的中点弦问题
1．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分．
(1)求直线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为弦被点平分，所以
设交点坐标
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
（2），
联立椭圆与直线方程得
所以，
所以，
又因为直线过点，
所以．
2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．
(1)求的方程；
(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，解得，，，
故的方程为．
（2）设，，则
则，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，
则．
故直线的方程为，即．
3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设的焦距为，，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以，
所以，所以，
所以的方程为；
（2）设，，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即.
由点为线段的中点，
得，，
则的斜率，
所以的方程为，
即.
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知①，②，
又椭圆中③，
所以联立①②③解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设过点作直线，与椭圆的交点为，，
则，两式相减得，
所以，
又因为是中点，所以，，即，，
由椭圆的对称性可得直线的斜率一定存在，
所以直线的斜率，
所以此弦所在的直线方程为，整理得.
5．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．
(1)求，的坐标．
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．
【答案】(1)，的坐标分别为，
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，
故，的坐标分别为，．
（2）设A，B两点的坐标分别为，，
则，
两式相减得．
因为弦AB的中点在椭圆内，所以，
所以直线l的斜率．
6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中学校联考阶段练习）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，
则
由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴
∴的轨迹方程为：
（2）设,∵ 都在椭圆上，
∴ ，，相减可得，
又中点为，∴ ，
∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即,
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线的方程为.
③椭圆中的面积问题
1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）设，因为点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，
所以，则，
整理得，故曲线的方程为．
（2）设，，
联立方程组整理得，
则，
，．
因为过点，
所以
．
令，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
则当时，，则的最大值为3．
故面积的最大值为3．
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求三角形OMN的面积．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由∴①，
又的周长为，∴②，
联立①②，解得，∴椭圆方程为；
（2）直线l的方程为：，即，设，，
由得，，
，
O到直线MN的距离为，
所以的面积．
3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为.
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，
令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.
4．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
则，
故椭圆方程可化为，
将代入上式得，
则，
故椭圆的标准方程为．
（2）
由题意得，四边形为菱形，
则菱形的面积
当直线的斜率不存在或为0时，易得
当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
设，
将代入，
得，
则，
则
．
综上，的最大值为．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.
(1)求椭圆的方程：
(2)若三角形的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)，或.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知有，解得
故椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为，，
联立消去，整理得，
则，，
且，即或.
所以的面积为
，
令，得，
解得或，
从而或.
故直线的方程为，或，
即，或.
6．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，依题意，，
可得，整理可得，
又椭圆C过点，所以，故椭圆C的方程为；
（2）依题意，可知AM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
又BM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
所以，
，
则
,
由于，所以，解得.
④椭圆中的参数和范围问题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）设，则，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为．
（2）假设曲线上始终存在两点，关于直线对称，
当时，设直线方程为，，，
联立，整理得，
则，
所以，．
设的中点为，
则，，
将代入，则，
所以，所以对恒成立，
即对恒成立，
因为，所以，则．
易知当时，曲线上存在两点，关于直线对称．
所以的取值范围为．
2．（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，
设椭圆的标准方程为，
则，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）
显然直线的斜率存在，设直线，
设,，,，则,，
四边形为平行四边形，
，,，
点，，均在椭圆上，
，，，
，
，
．，
由，消去得，，
显然，
，，
，
，
,．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
当点为椭圆的上顶点时，，解得．
故椭圆的方程为.
（2）如图，
依题意，设直线的方程为，
易得．
联立方程组 消去并整理得，
则，，
直线的方程为，
令得，同理可得，
则，
由，解得，得，
即实数的取值范围为．
4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
又因为椭圆中，所以，，，
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，
联立得，
，即，
所以，，
因为，所以，
又因为
，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
当直线斜率不存在时，设，，，且，
所以，解得，
又因为在椭圆上，则，
所以，，
所以，
综上的取值范围为.
5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．
(1)求的值；
(2)若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）若，则．
因为，，解得，．因此．
若，则，
解得．因此．
综上知，或．
（2）设，，联立，消去y得到，
，即．
则，，
弦AB中点M的坐标是．
由得，．
另一个方面，直线PM的方程是．
点在此直线上，
故，整理得，．
代入中，，．
又，，所以，．
故实数m的取值范围是．
⑤椭圆中的最值问题
1．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
2．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
由(1)得，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，
，,
，
，
因为以为直径的圆过点A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
当时，，且，点A到MN的距离为，
所以，
化简得，
令，则，
，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
即时取得最小值，此时.
3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，
结合及，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 .
（2）
设点，
若直线PQ的斜率为零，由对称性知，，
则，，，不合题意.
设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则
联立 得，由可得 ，
，，
所以
解得
即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 .
由韦达定理可得，
由平面几何知识，
所以，
设，则，当时，，故在单调增，
因为，所以，
因此，的最大值为.
4．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为原点，为椭圆上任意一点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为．
可设椭圆的标准方程为．
由椭圆经过点，可得，解得或（舍）．
椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可得，设，
，得，且，
，
，
，当时，取最大值6．
5．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
则
当时，
当时，，
所以.
6．（2023·四川·校联考三模）已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆上除去，的任意一点，直线交椭圆于另一点.
(1)当点为椭圆的短轴端点时，原点到直线的距离为1，求椭圆的标准方程；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为当点为椭圆的短轴端点时，
，所以，.
所以.
因为，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题设直线的方程为，
由，得，
，
解得或（舍），则，即.
由，得，则.
即，.即，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
⑥椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
2．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得：，，，
故可知，
椭圆方程为：.
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：，
则，即，
由韦达定理可知：，，
，则，
，
又，
，
，
展开后整理得：，解得：或，
当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去，
当时，AB的方程为：，恒过定点.
所以直线过定点．
3．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的方程为
根据题意得，解得
故所求椭圆方程为
（2）如下图所示：
设直线交该椭圆与两点．
将代入
得
所以
由直线能与轴共同围成底边在轴上的等腰三角形，
可得，
即
整理得
，
即
即，
所以当时，不论为何值时都成立，
所以直线与轴共同围成底边在轴上的等腰三角形时直线的斜率为定值
4．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，
，解得，
∴，
∴，，，
∴椭圆的方程为．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．
联立椭圆方程，消去得．
设，，则，．
∴，
又，，
∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．
联立得，
∴．
又∵，∴．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，
将点，代入椭圆的方程可得：，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，，
因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，
因为在椭圆上，则，
整理可得：，①
又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，
即，
而，
可得，②
由①②可得：，，符合△，
可得，，
所以直线的方程为：或．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点．
(1)当m＝2时，求的值；
(2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）折线为，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，
设，，则M，N关于x轴的对称点分别为，，
联立，得，
所以是的两根，
所以，，，（1），
当m＝2时，．
（2）由题意知，，
则直线AM的方程为，
又因为M在F的右侧，所以满足，
所以直线AM的方程为①，
由题知，，则直线BN的方程为，
又因为，
所以直线BN的方程为②，
得，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
解得x＝1，
所以定点P在直线x＝1上．
⑦椭圆中向量问题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆，其离心率，长轴长为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上下顶点分别为，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，点与点关于轴对称，直线交于，直线交于点，点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知，可得；
又，解得，所以，
因此椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知，
易知直线的方程为，即；
显然过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，
又因为直线交于，所以，即直线的方程为，如下图所示：
联立直线与椭圆方程，消去整理可得；
设，易知和是方程的两根，由韦达定理可得，
又，所以，即；
因此点关于轴的对称点坐标为，
所以直线的斜率，
可得直线方程为，
由直线交于，联立两直线方程，解得；
直线交于点，联立两直线方程，解得；
所以可得，
又，可得，
显然，所以，也即.
3．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点满足题意.
【详解】（1）由题意得，
又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以
解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
5．（2023·天津和平·统考三模）在平面直角坐标系中，椭圆的上，下焦点分别为，椭圆上的任意一点到下焦点的最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，长半轴为，依题意，解得，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，
由，消去可得，解得，
则，
即，
因为，则为的垂直平分线与的交点，
所以，解得，所以，
又直线，所以直线的方程为，令，解得，
所以，
又，
所以，，
因为，所以，
解得，所以，所以直线的方程为.
⑧椭圆综合问题
1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，即存在点满足题意．
2．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆过点和．
(1)求C的方程；
(2)不过原点的直线与交于不同的两点，且直线的斜率成等比数列．在上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或或或.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故C的方程为；
（2）由题意知直线的斜率一定存在，设直线的l方程为，
设，
由，得，
需满足，则，
所以，
故；
由于直线的斜率成等比数列，即，
即，故，解得，
存在点M，使得四边形为平行四边形，
理由如下：四边形为平行四边形，则,
故，
又点M在椭圆C上，故，
因为，
所以，即，
当，满足，
所以直线l的方程为或或或.
3．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，易知，由，
得，
化简得，
故椭圆的标准方程为.
（2）
设的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，
，，
，，
则，
又原点到的距离为，
故，
当且仅当时取等号，
此时，的面积最大.
故
.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为的周长为，即
所以，可得，
由椭圆的离心率，可得，从而，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立方程，整理得，
则，
同理可得，．
因为，
所以
所以是定值．
5．（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此 ，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，
依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分，
设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1884" ①椭圆的弦长（焦点弦）问题 PAGEREF _Tc1884 \h 1
\l "_Tc15792" ②椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc15792 \h 10
\l "_Tc29964" ③椭圆中的面积问题 PAGEREF _Tc29964 \h 15
\l "_Tc158" ④椭圆中的参数和范围问题 PAGEREF _Tc158 \h 22
\l "_Tc18149" ⑤椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc18149 \h 28
\l "_Tc32588" ⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc32588 \h 35
\l "_Tc8656" ⑦椭圆中向量问题 PAGEREF _Tc8656 \h 42
\l "_Tc20166" ⑧椭圆综合问题 PAGEREF _Tc20166 \h 48
①椭圆的弦长（焦点弦）问题
1．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）设交点坐标，
因为弦被点平分，
所以
又，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
（2）由（1）可知，与椭圆方程联立，
所以，
由弦长公式可知.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，
解得．
所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，
即．
又因为，所以，
所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，
因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，
解得．
设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
3．（2023春·上海·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率
(3)求直线被椭圆截得的弦长.
【答案】(1)
(2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率
(3)
【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形，
所以，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由（1）可得：，
故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率.
（3）设交点，
联立方程，消去y得，
则，
所以．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于，两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，
所以设直线，
联立方程，得，
所以，
，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
5．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆中心在原点上，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，且，求的值；
(3)在（2）的结论下，求的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，所以设椭圆的方程为：，
，又椭圆上一点到两焦点的距离和为，所以，，
所以，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由（1）知，椭圆的方程为：，即：，
设，，有：，得：，
又，所以，的斜率之积为，即：，
即：，又：，所以：，
整理得：，又：，，
即有：，整理得：，所以.
（3），
当时：直线方程为：，联立方程组得：，
解得：，
所以：，
所以：，
由对称性可知：当时，也有，
所以：.
6．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的离心率为e，且过点和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：，∴
，∴，所以椭圆；
（2）法一 设及AB中点，由题意知
，，以上两式相减得：，
可化为：即，故，
又∵M在直线上，所以，解得：，
即，直线，化简为：
联立 整理得：，由韦达定理知
由弦长公式得：．
法二 设直线，
联立， 整理得：
，则中点，满足直线方程，解得
所以AB：
联立 整理得：，由韦达定理知
由弦长公式得：．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，，，
的最大面积为，，
，
，
椭圆的方程为；
（2）由题知，设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
∴，得，
，，
∴，
设，，
由复合函数的单调性知：
在上单调递增，在单调递减，
∴当时，，
故.
8．（2023·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
②椭圆的中点弦问题
1．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分．
(1)求直线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为弦被点平分，所以
设交点坐标
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
（2），
联立椭圆与直线方程得
所以，
所以，
又因为直线过点，
所以．
2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．
(1)求的方程；
(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，解得，，，
故的方程为．
（2）设，，则
则，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，
则．
故直线的方程为，即．
3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设的焦距为，，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以，
所以，所以，
所以的方程为；
（2）设，，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即.
由点为线段的中点，
得，，
则的斜率，
所以的方程为，
即.
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知①，②，
又椭圆中③，
所以联立①②③解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设过点作直线，与椭圆的交点为，，
则，两式相减得，
所以，
又因为是中点，所以，，即，，
由椭圆的对称性可得直线的斜率一定存在，
所以直线的斜率，
所以此弦所在的直线方程为，整理得.
5．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．
(1)求，的坐标．
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．
【答案】(1)，的坐标分别为，
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，
故，的坐标分别为，．
（2）设A，B两点的坐标分别为，，
则，
两式相减得．
因为弦AB的中点在椭圆内，所以，
所以直线l的斜率．
6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中学校联考阶段练习）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，
则
由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴
∴的轨迹方程为：
（2）设,∵ 都在椭圆上，
∴ ，，相减可得，
又中点为，∴ ，
∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即,
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线的方程为.
③椭圆中的面积问题
1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）设，因为点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，
所以，则，
整理得，故曲线的方程为．
（2）设，，
联立方程组整理得，
则，
，．
因为过点，
所以
．
令，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
则当时，，则的最大值为3．
故面积的最大值为3．
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求三角形OMN的面积．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由∴①，
又的周长为，∴②，
联立①②，解得，∴椭圆方程为；
（2）直线l的方程为：，即，设，，
由得，，
，
O到直线MN的距离为，
所以的面积．
3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为.
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，
令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.
4．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
则，
故椭圆方程可化为，
将代入上式得，
则，
故椭圆的标准方程为．
（2）
由题意得，四边形为菱形，
则菱形的面积
当直线的斜率不存在或为0时，易得
当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
设，
将代入，
得，
则，
则
．
综上，的最大值为．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.
(1)求椭圆的方程：
(2)若三角形的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)，或.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知有，解得
故椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为，，
联立消去，整理得，
则，，
且，即或.
所以的面积为
，
令，得，
解得或，
从而或.
故直线的方程为，或，
即，或.
6．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，依题意，，
可得，整理可得，
又椭圆C过点，所以，故椭圆C的方程为；
（2）依题意，可知AM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
又BM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
所以，
，
则
,
由于，所以，解得.
④椭圆中的参数和范围问题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）设，则，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为．
（2）假设曲线上始终存在两点，关于直线对称，
当时，设直线方程为，，，
联立，整理得，
则，
所以，．
设的中点为，
则，，
将代入，则，
所以，所以对恒成立，
即对恒成立，
因为，所以，则．
易知当时，曲线上存在两点，关于直线对称．
所以的取值范围为．
2．（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，
设椭圆的标准方程为，
则，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）
显然直线的斜率存在，设直线，
设,，,，则,，
四边形为平行四边形，
，,，
点，，均在椭圆上，
，，，
，
，
．，
由，消去得，，
显然，
，，
，
，
,．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
当点为椭圆的上顶点时，，解得．
故椭圆的方程为.
（2）如图，
依题意，设直线的方程为，
易得．
联立方程组 消去并整理得，
则，，
直线的方程为，
令得，同理可得，
则，
由，解得，得，
即实数的取值范围为．
4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
又因为椭圆中，所以，，，
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，
联立得，
，即，
所以，，
因为，所以，
又因为
，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
当直线斜率不存在时，设，，，且，
所以，解得，
又因为在椭圆上，则，
所以，，
所以，
综上的取值范围为.
5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．
(1)求的值；
(2)若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）若，则．
因为，，解得，．因此．
若，则，
解得．因此．
综上知，或．
（2）设，，联立，消去y得到，
，即．
则，，
弦AB中点M的坐标是．
由得，．
另一个方面，直线PM的方程是．
点在此直线上，
故，整理得，．
代入中，，．
又，，所以，．
故实数m的取值范围是．
⑤椭圆中的最值问题
1．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
2．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
由(1)得，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，
，,
，
，
因为以为直径的圆过点A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
当时，，且，点A到MN的距离为，
所以，
化简得，
令，则，
，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
即时取得最小值，此时.
3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，
结合及，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 .
（2）
设点，
若直线PQ的斜率为零，由对称性知，，
则，，，不合题意.
设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则
联立 得，由可得 ，
，，
所以
解得
即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 .
由韦达定理可得，
由平面几何知识，
所以，
设，则，当时，，故在单调增，
因为，所以，
因此，的最大值为.
4．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为原点，为椭圆上任意一点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为．
可设椭圆的标准方程为．
由椭圆经过点，可得，解得或（舍）．
椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可得，设，
，得，且，
，
，
，当时，取最大值6．
5．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
则
当时，
当时，，
所以.
6．（2023·四川·校联考三模）已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆上除去，的任意一点，直线交椭圆于另一点.
(1)当点为椭圆的短轴端点时，原点到直线的距离为1，求椭圆的标准方程；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为当点为椭圆的短轴端点时，
，所以，.
所以.
因为，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题设直线的方程为，
由，得，
，
解得或（舍），则，即.
由，得，则.
即，.即，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
⑥椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
2．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得：，，，
故可知，
椭圆方程为：.
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：，
则，即，
由韦达定理可知：，，
，则，
，
又，
，
，
展开后整理得：，解得：或，
当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去，
当时，AB的方程为：，恒过定点.
所以直线过定点．
3．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的方程为
根据题意得，解得
故所求椭圆方程为
（2）如下图所示：
设直线交该椭圆与两点．
将代入
得
所以
由直线能与轴共同围成底边在轴上的等腰三角形，
可得，
即
整理得
，
即
即，
所以当时，不论为何值时都成立，
所以直线与轴共同围成底边在轴上的等腰三角形时直线的斜率为定值
4．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，
，解得，
∴，
∴，，，
∴椭圆的方程为．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．
联立椭圆方程，消去得．
设，，则，．
∴，
又，，
∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．
联立得，
∴．
又∵，∴．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，
将点，代入椭圆的方程可得：，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，，
因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，
因为在椭圆上，则，
整理可得：，①
又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，
即，
而，
可得，②
由①②可得：，，符合△，
可得，，
所以直线的方程为：或．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点．
(1)当m＝2时，求的值；
(2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）折线为，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，
设，，则M，N关于x轴的对称点分别为，，
联立，得，
所以是的两根，
所以，，，（1），
当m＝2时，．
（2）由题意知，，
则直线AM的方程为，
又因为M在F的右侧，所以满足，
所以直线AM的方程为①，
由题知，，则直线BN的方程为，
又因为，
所以直线BN的方程为②，
得，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
解得x＝1，
所以定点P在直线x＝1上．
⑦椭圆中向量问题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆，其离心率，长轴长为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上下顶点分别为，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，点与点关于轴对称，直线交于，直线交于点，点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知，可得；
又，解得，所以，
因此椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知，
易知直线的方程为，即；
显然过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，
又因为直线交于，所以，即直线的方程为，如下图所示：
联立直线与椭圆方程，消去整理可得；
设，易知和是方程的两根，由韦达定理可得，
又，所以，即；
因此点关于轴的对称点坐标为，
所以直线的斜率，
可得直线方程为，
由直线交于，联立两直线方程，解得；
直线交于点，联立两直线方程，解得；
所以可得，
又，可得，
显然，所以，也即.
3．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点满足题意.
【详解】（1）由题意得，
又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以
解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
5．（2023·天津和平·统考三模）在平面直角坐标系中，椭圆的上，下焦点分别为，椭圆上的任意一点到下焦点的最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，长半轴为，依题意，解得，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，
由，消去可得，解得，
则，
即，
因为，则为的垂直平分线与的交点，
所以，解得，所以，
又直线，所以直线的方程为，令，解得，
所以，
又，
所以，，
因为，所以，
解得，所以，所以直线的方程为.
⑧椭圆综合问题
1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，即存在点满足题意．
2．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆过点和．
(1)求C的方程；
(2)不过原点的直线与交于不同的两点，且直线的斜率成等比数列．在上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或或或.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故C的方程为；
（2）由题意知直线的斜率一定存在，设直线的l方程为，
设，
由，得，
需满足，则，
所以，
故；
由于直线的斜率成等比数列，即，
即，故，解得，
存在点M，使得四边形为平行四边形，
理由如下：四边形为平行四边形，则,
故，
又点M在椭圆C上，故，
因为，
所以，即，
当，满足，
所以直线l的方程为或或或.
3．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，易知，由，
得，
化简得，
故椭圆的标准方程为.
（2）
设的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，
，，
，，
则，
又原点到的距离为，
故，
当且仅当时取等号，
此时，的面积最大.
故
.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为的周长为，即
所以，可得，
由椭圆的离心率，可得，从而，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立方程，整理得，
则，
同理可得，．
因为，
所以
所以是定值．
5．（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此 ，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，
依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分，
设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.
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