南京师范大学附属中学2023-2024学年高三寒假模拟测试数学试卷

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这是一份南京师范大学附属中学2023-2024学年高三寒假模拟测试数学试卷，共5页。
本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则的元素个数为（）
A．B．C．D．
2．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（）
A．1项B．项C．项D．项
3．已知函数，若a，b都是区间内的数，则使得成立的概率是（）
A．B．C．D．
4．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）
A．B．C．D．
5．设，则（）
A．B．
C．D．
6．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）
A．1007B．1009C．2014D．2018
7．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）

A．2B．
C．D．4
8．若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．已知当时，，则（）
A．B．
C．D．
10．已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若为钝角三角形，则
D．椭圆C内接矩形的周长范围是
11．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（）
A．对任意三点，都有；
B．已知点和直线，则；
C．到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D．定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则．
13．已知集合，则的非空子集的个数是．
14．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为．

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
(1)解关于x的不等式：；
(2)若（），求的最小值．
16．（15分）设的第项系数为．
(1)求的最大值．
(2)若表示的整数部分，，求的值．
17．（15分）已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（17分）如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点为线段的中点时，求证：；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
19．（17分）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
（1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程；
（2）射线的方程（），如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点､，且，求椭圆的方程；
（3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换得抛物线：，如此进行下去，对抛物线：作变换，得：若，，求数列的通项公式.
备选题：20．某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求；
(3)若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）