专题6.5 平面向量的应用-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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\l "_Tc7088" 【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】 PAGEREF _Tc7088 \h 1
\l "_Tc14884" 【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】 PAGEREF _Tc14884 \h 3
\l "_Tc944" 【题型3 用向量解决夹角问题】 PAGEREF _Tc944 \h 4
\l "_Tc30658" 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 PAGEREF _Tc30658 \h 5
\l "_Tc11037" 【题型5 向量与几何最值】 PAGEREF _Tc11037 \h 7
\l "_Tc7495" 【题型6 向量在几何中的其他应用】 PAGEREF _Tc7495 \h 8
\l "_Tc12620" 【题型7 用向量解决物理中的相关问题】 PAGEREF _Tc12620 \h 10
【知识点1 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.
③求夹角问题，利用夹角公式：==.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】
【例1】（2023下·全国·高一专题练习）在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//BC.
【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.

【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在四边形ABCD中， AB=DC，N，M是AD，BC上的点，且DN＝MB.
求证： CN=MA.
【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习）已知在四边形ABCD中，AB//CD，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形.
【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【例2】（2023下·安徽安庆·高一校考阶段练习）如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为BC的中点.求证：AM⊥EF.
【变式2-1】（2023下·河南信阳·高一校联考期中）已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且AN=NB，设AM与CN相交于点P．记AB=m，AC=n．

(1)请用m，n表示向量AM；
(2)若n=2m，设m，n的夹角为θ，若csθ=14，求证：CN⊥AB．
【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：AG⊥CE；
（2）当点C在BG的什么位置时，CH⋅CE最小？
【变式2-3】（2023下·山东济南·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,b，B−a,0，Ca,0(且ab≠0)，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：EF⊥CD．
【题型3 用向量解决夹角问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+PC=0.求cs∠APC.
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠FDC.
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，AD=λAB+μAE．
(1)求λ和μ的值；
(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA与BD所成角的余弦值．
【变式3-3】（2023下·福建厦门·高一统考期末）在四边形ABCD中，AB=2m−2n，AD=−m+3n，AC=2n，其中m，n为不共线的向量．
(1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明；
(2)若m=2，n=1，m与n的夹角为60∘，F为BC中点，求∠FAB．
【题型4 用向量解决线段的长度问题】
【例4】（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD=12DC,BE=12EA,AF=12FC,DE⋅DF=−4.
(1)求BC的长；
(2)求AD的长.
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：EF=BC−AD2.
【变式4-3】（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点，CE⊥AB,AD与CE交于点F.
(1)求CE和AD的长度；
(2)求cs∠CFD.
【题型5 向量与几何最值】
【例5】（2023上·江苏常州·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠A=90∘,AB=AD=2,△BCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，MC⋅MD的最小值为（ ）

A．−32B．-1
C．−12D．2
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，P是线段AB上的动点，则PC+2PD的最小值为（ ）
A．25B．5C．35D．7
【变式5-2】（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=35AB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+37AB，若△ABC的面积为23，则AP的最小值为（ ）
A．14449B．127C．233D．3
【变式5-3】（2023上·上海浦东新·高三校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）

A．PA⋅PC为定值B．OA⋅OC的取值范围是−2,0
C．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值D．AC⋅BD的最大值为16
【题型6 向量在几何中的其他应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H，I，J分别是AB，DC，BC，AD，AC，BD的中点，求证：HG，EF，IJ相交于一点O，且点O是它们的公共中点．
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在△OAB中，点C分OA为1:3，点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E，求证：AE=3EB.
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQ//AB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【变式6-3】（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）已知点A2,0，B8,3，C6,−1，D为线段BC的中点，E为线段AB上靠近B的三等分点.
(1)求D，E的坐标.
(2)在①△ADE，②△BDE这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.
问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.
（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【知识点2 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型7 用向量解决物理中的相关问题】
【例7】（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．21km/hB．221km/h
C．22km/hD．222km/h
【变式7-1】（2023上·广东佛山·高二统考期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ，已知礼物的质量为mkg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度g）
A．8mgsinθB．mg8sinθC．mg8csθD．8mgcsθ
【变式7-2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F⋅S（其中W是功，F是力，S是位移）一物体在力F1=2,4和F2=−5,3的作用下，由点A1,0移动到点B2,4，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25B．5C．−5D．−25
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为v1=10km/ℎ，水流的速度v2的大小为v2=4km/ℎ，设v1和v2所成的角为θ0<θ<π，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则csθ=（ ）
A．−215B．−25C．−35D．−45