专题6.9 平面向量及其应用全章十一大基础题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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题型1
向量的几何表示与向量的模
1．（2023·全国·高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么（ ）
A．s>|a| B．s<|a|
C．s=|a|D．s与|a|不能比大小
2．（2023·全国·高一专题练习）若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a//b；③|a|>0；④|b|=1；⑤a|a|=b，其中正确的有（ ）
A．③④⑤B．②③⑤C．①③④D．③④
3．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求DA的模．
4．（2023·全国·高一随堂练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）|OA|=4,点A在点O正南方向；
（2）|OB|=22,点B在点O北偏西45°方向；
（3）|OC|=2,点C在点O南偏西30°方向.
题型2
向量相等或共线的判断
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P，且EF//AB，则下列等式中成立的是（ ）

A．AD=BCB．AC=BD
C．PE=PFD．EP=PF
3．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与FE共线的向量；
(2)确定与FE相等的向量；
(3)OA与BC相等吗？
4．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，

(1)与AB模长相等的向量有多少个？
(2)写出与AB相等的向量有哪些？
(3)与AB共线的向量有哪些？
(4)请列出与EC相等的向量．
题型3
平面向量的线性运算
1．（2023·云南·高二学业考试）化简AC− BD+ CD− AB得（ ）
A．ABB．DAC．BCD．0
2．（2023下·天津宝坻·高一校考阶段练习）3a+b−2a−b−a=（ ）
A．5aB．5bC．−5aD．−5b
3．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：
(1)AB+BC−AD；
(2)(AB−CD)−(AC−BD)；
(3)(AC+BO+OA)−(DC−DO−OB)；
4．（2023·全国·高一专题练习）化简：
(1)53a−2b+42b−3a；
(2)13a−2b−143a−2b−12a−b；
(3)x+ya−x−ya.
题型4
由平面向量的线性运算求参数
1．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在梯形ABCD中，AB=4DC，AC+AB=xAD+yCD，则x−y=（ ）
A．5B．6C．－5D．－6
2．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）在梯形ABCD中，E是CD中点，BC=2AD，设BE=λBA+μBC，则λ+μ=（ ）
A．53B．52C．2D．54
3．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，点P是AB上一点，且CP=23CA+13CB，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM=tCP，则t=（ ）

A．12B．23C．34D．−12
4．（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ=（ ）
A．−56B．−16C．12D．56
题型5
向量数量积的计算
1．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知|a|=8,|b|=6,a,b=150°，则a⋅b=（ ）
A．−243B．-24C．243D．16
2．（2023·云南红河·统考一模）在△ABC中，BC=2,∠BAC=π3，点P满足2PA+PB+PC=0，则PB⋅PC的最大值为（ ）
A．−34B．−14C．−13D．−23
3．（2023·全国·高一假期作业）已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4,|b|=2，求：
(1)a→·b→；
(2)(a+b)⋅(a−2b)．
4．（2023下·高一课时练习）已知a=10，b=12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a⋅b；
(2)3a⋅15b；
(3)3b−2a⋅4a+b．
题型6
平面向量基本定理及其应用
1．（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）在△ABC中，点D为BC边中点，点E在线段AC上，且2AE=EC，若AD=a，BE=b，则AB为（ ）
A．12a−34bB．12a+23bC．12a+34bD．12a−23b
2．（2023下·河北衡水·高一校考期中）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AE=EO，若DE=λAB+μADλ,μ∈R，则λ+μ等于（ ）

A．1B．−12C．−23D．18
3．（2023下·浙江金华·高一校考阶段练习）如图，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；
(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数λ和μ的值．
4．（2023下·河南南阳·高一校联考期末）如图，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC．

(1)用AB，AD表示AC，BE；
(2)若点M满足AM=−12AB+34AC，证明：B，M，E三点共线．
题型7
平面向量线性运算、数量积的坐标表示
1．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知向量a=1,−1，b=−1,2，则2a+b=（ ）
A．1,2B．1,0C．−1,−2D．−1,2
2．（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=−2,−1，则a+b⋅2a−b=（ ）
A．10B．18C．−7,8D．−4,14
3．（2023下·黑龙江牡丹江·高一校考期末）已知平面向量a=1,−2,b=−1,−1.
(1)求2a−b的值；
(2)求a→⋅b→的值.
4．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）已知a=2,3，b=−2,4，c=−1,−2，分别求下列各式的值：
(1)2a+b+3a−b；
(2)a⋅b+c；
(3)a+b2．
题型8
用向量解决平面几何中的垂直问题
1．（2023上·广东佛山·高二校考期中）已知△ABC的三个顶点分别是A−1,0，B1,0，C12,32，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·高一课时练习）在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC⋅BD=0，则四边形为（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
3．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，AB=AC=1，对任意x∈R，有AB+xAC≥AB−12AC.
（1）求角A；
（2）若AD=13AB，AE=23AC，且BE、CD相交于点P.求证：AP⊥BE.
4．（2023下·山东济南·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,b，B−a,0，Ca,0(且ab≠0)，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：EF⊥CD．
题型9
用向量解决物理中的相关问题
1．（2023下·河南开封·高二校考期中）平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，F1=1N，F2=2N，F1与F2的夹角为45∘，则F3大小为（ ）
A．3NB．4NC．5ND．6N
2．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以103km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西30∘，20km/hB．北偏西60∘，102km/h
C．北偏东30∘，102km/hD．北偏东60∘，20km/h
3．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知两个力F1=5i+3j,F2=−2i+j,F1,F2作用于同一质点，使该质点从点A8,0移动到点B20,15（其中i,j分别是x轴正方向､y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）．试求：
(1)F1,F2分别对质点所做的功；
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功．
4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以23km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
题型10
余弦定理解三角形
1．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在△ABC中，若a2+b2−c2=ab，则角C的值是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．（2023下·宁夏石嘴山·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且csA=13，bc=94，求b+c的值（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023上·山西晋城·高二校考阶段练习）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件解三角形：
(1)已知b=3，c=1，A=60∘，求a；
(2)已知a=31，b=5，c=6，求A．
4．（2023上·上海静安·高三校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cs2A+4cs(B+C)+3=0.
(1)求角A的大小;
(2)若 a=3,b+c=3，求b和c的值.
题型11
正弦定理解三角形
1．（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A=π6，则此三角形（ ）
A．无解B．有一解
C．有两解D．解的个数不确定
2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）△ABC中，A=60∘，BC=43，AC=42，则角C的大小为（ ）
A．75∘B．45∘
C．135∘D．45∘或135∘
3．（2023下·江西宜春·高二校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2c−3acsB=3bcsA.
(1)求角B的大小；
(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.
4．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足2a+bsinA+2b+asinB=2csinC．
(1)求角C；
(2)若sinAsinB=2ab，求c的值．