四川省眉山市2022_2023学年高一数学下学期期中试题含解析

这是一份四川省眉山市2022_2023学年高一数学下学期期中试题含解析，共16页。试卷主要包含了 已知是两个不共线的向量，，， 已知向量，且，则实数=， 若，则， 计算下列各式，结果为的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式化简即可得所求结果.
【详解】.
故选：C.
2. 函数的最小正周期和最大值分别是（）
A. 和3B. 和2C. 和3D. 和2
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦型函数的周期公式求解最小正周期，求最值即可
【详解】因为函数，所以最小正周期为：，
当时，有最大值2.
故选：D.
3. 已知是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数（）.
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.
【详解】由已知，
∵与是共线向量，
∴存在，使，又，，
即，
∴，
∴，
所以，
故选：D.
4. （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解
【详解】由题意，
故选：A
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题
5. 已知向量，且，则实数=
A. B. 0C. 3D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.
考点：向量的坐标运算.
6. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．
【详解】，两边平方得，即
则
故选: D
7. 如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据共线关系用基底表示，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.
【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,
∴①,又∵，∴，∴②，
对比①，②，由平面向量基本定理可得：．
【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.
【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.
故选：A
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 下列两个向量，能作为基底向量的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量是否共线即可判断其能否作为基底向量，一一判断即可.
【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.
B选项，因为，所以不平行，可以作为基底.
C选项，，所以平行，不能作为基底.
D选项，因为，则不平行，可以作为基底.
故选：BD.
10. 计算下列各式，结果为的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（）
A. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B. 在中，若，则点为边上的中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 若且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，
B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.
C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.
D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.
故选：ABC
12. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（）
A. 最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 在区间上单调递增
D. 为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.
【详解】A选项，设的最小正周期为，
由图象可知，解得，A错误；
B选项，因为，所以，解得，
故，
将代入解析式得，
因，所以解得，
因为函数经过点，所以，故，
的最大值为2，B正确；
C选项，，
当时，，
因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；
D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.
故选：BC
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【详解】根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
14. 已知点，点，若，则点的坐标是________．
【答案】P（3,4）
【解析】
【详解】试题分析：设，代入得
考点：向量的坐标运算
15. 已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据向量的投影定义，列出方程，求解，再根据夹角公式，即可求解.
【详解】由题意，得解得∴.∵，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.
16. 在中，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切和差公式和倍角公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
.
故答案为：.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知向量，满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合向量的数量积运算化简已知条件，由此求得，进而求得.
（2）利用向量垂直列方程，化简求得的值.
【小问1详解】
由得，
，
由于，所以.
【小问2详解】
，
由于，
所以
.
18. 如图为函数的部分图象．
（1）求函数解析式和单调递增区间；
（2）若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，
（2）最大值，最小值
【解析】
【分析】（1）由图象，先求，再求出，然后代入最值点求即可得的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可；
（2）由题意图象变换得到，求出整体角的范围，转化为求正弦函数的最值即可.
【小问1详解】
由图象知，，
又则，
则，将代入得，，
得，解得，
由，得当时，，
所以.
令，，
得，，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
将的图像向右平移个单位得
，
然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.
已知，则，则.
故当时，最小值为；
当时，的最大值为.
19. 已知函数f(x)＝4sinxcs(x+)+m(x∈R，m为常数)，其最大值为2．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f(α)＝(＜α＜0)，求cs2α的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差及辅助角公式将函数化为y＝Asin(ωx+φ)的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值．
（Ⅱ）由题设可得cs(2α+)＝，由2α＝[(2α+)]，利用二倍角余弦公式求解即可．
【详解】（Ⅰ）由题设，f(x)＝4sin x cs x cs4sin2x sin+m＝sin2x2sin2x + m = sin2x+cs2x+m＝2sin(2x+)+m.
由最大值为2,即2+m＝2，得m＝．
（Ⅱ）由f(α)＝，即2sin(2α+)＝．
∴sin(2α+)＝，又＜α＜0，
∴＜2α+＜．
∴cs(2α+)＝；
那么cs2α＝cs[(2α+)]＝cs(2α+)cs+sin(2α+)sin＝．
20. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，角终边与单位圆的交点为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若点的坐标为，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义求点的坐标，根据三角恒等变换用表示，结合正弦函数性质求其取值范围；
（2）由三角函数定义可得，根据两角差正弦和余弦公式求可得点的坐标.
【小问1详解】
由题意，
所以
，
由，可得，
所以，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
由，得，
，
，
，
所以点的坐标为.
21. 如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，.
（1）试用表示向量；
（2）求的值.
（3）延长线段交于，设，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先用、表示向量，再根据数量积的运算律计算可得；
（3）首先用、表示向量，由于与共线，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
所以
.
【小问3详解】
设，
，
由于与共线，则，
即，
即，解得，即.
22. 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.
【解析】
分析】
（1）由题意可知小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
又，所以，
所以的取值范围为，，；
(2)其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值
【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，
因为内嵌一个大正方形孔中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为.
所以五个正方形的面积和为，
.
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，.
（2），
，
，
，其中，.
所以，此时.
因为，所以，
所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以.