四川省绵阳市2023_2024学年高三数学上学期9月月考理试题含解析

这是一份四川省绵阳市2023_2024学年高三数学上学期9月月考理试题含解析，共19页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回， 已知点在幂函数f， 若， 部分图象大致是， 设函数，则使得的的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定集合，再由并集的定义计算．
详解】由已知
，
故选：C．
2. 命题“，”的否定为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】存在命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定是：，．
故选：C．
3. 函数的零点为，且，，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理求解.
【详解】因为在单调递增，
且，
即，所以，
故选：C.
4. 已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.
【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，
当时，函数取得最小值，则，
所以，，所以，，其中，
因此，.
故选：B.
5. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.
【详解】由题意得：，
，，
即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.
故选：D.
6. 已知等差数列，其前n项和满足，则（）
A. 4B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.
【详解】是等差数列，其前n项为，
，
，.
故选：A.
7. 已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. b＜a＜cB. a＜b＜cC. b＜c＜aD. a＜c＜b
【答案】C
【解析】
【分析】
先将点代入幂函数即可求出，再利用幂函数的单调性即可判断出大小.
【详解】解：∵点在幂函数f（x）＝xn的图象上，
∴，∴，
∴幂函数，在上单调递减，
又∵，
∴，即a＞c＞b.
故选：C．
8. 若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.
【详解】因为：实数使得“”为真命题，
所以有解，所以，解得，
即；
因为：实数使得“”为真命题，
所以，由指数函数的图象和性质可得，
即，
所以，，即是的必要不充分条件，
故选：A
9. 部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，可化为
所以，
故为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；
令可得，或，
由，解得，，
由，解得，
所以函数最小的正零点为，
当时，，，，排除A，
故选：C.
10. 设函数，则使得的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得出答案.
【详解】函数的定义域为，且
所以函数为偶函数，
又因为当时，函数，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为偶函数有，
所以由可得，
所以，即，整理得：，
解得：，
所以的取值范围为.
故选：C.
11. 若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.
【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，
函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且，
在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图，
由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，
观察图象知，函数的图象在内有12个交点，
所以函数在内有12个零点，C正确.
故选：C
12. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.
【详解】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若实数满足约束条件，则的最大值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由实数满足约束条件，作出可行域，再平移直线，由直线直线在y轴上的截距最小时求解.
【详解】解：由实数满足约束条件，得可行域如图所示：
平移直线，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，
此时目标函数取的最大值，最大值为3，
故答案为：3
14. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，进而求解结论.
【详解】解：∵函数，
∴，
∴.
故答案为：.
15. 若，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.
【详解】
即：则，于是
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.
16. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是_______________.
（1）函数图象关于对称；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）（3）
【解析】
【分析】根据为奇函数推出对称中心, 根据逆向思维得到, 代入推出的对称轴, 进一步得出周期 4 ,周期也为 4 , 算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.
【详解】因为, 则,
因为，所以,
用去替x，所以有，所以有,
取代入得到则，
故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；
在上为奇函数, 则过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，; ，而，所以有，则的周期;
又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由的图像移动变化而来, 故周期也为 4 ,
因为,
所以，,
所以，故（2）错误；
，周期为 4 , ，,,
故，
由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的前项和，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.
试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①
当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴
18. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【小问1详解】
，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
19. 记的内角所对边分别为．已知．
（1）求的大小；
（2）若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；
(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，
若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
，
由正弦定理知，即．
在中，由，
．
．
．
．
【小问2详解】
若选择条件①，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若选择条件②，由，即．
设．
则．
由，得．
．
．
20. 已知函数（），（）．
（1）若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
（2）当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；
（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
，由得，
∴，，
即切点为，代入方程得，
所以，；
【小问2详解】
由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，
∴，
．
①当时，在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，解得或，
∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.
综上，.
21. 已知函数（为常数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为
又，所以
试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增， 由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.
（2）,则,所以的两根即为方程的两根. 因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,
所以
令,由得
因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值
【思路点睛】导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则
y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.
（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；
（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..
【答案】(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.
（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.
【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.
（Ⅱ）点满足：
所以，即.
因为，所以.
从而.
所以.
据此可得直线的斜率为.
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.
23. 设函数，M为不等式的解集.
（1）求M；
（2）证明：当a，时，.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意给的函数解析式，分段去绝对值号，分别求解不等式解集即可完成求解；
（2）根据第（1）问求解出的范围，对要证明的式子进行平方，然后合并即可判断.
【小问1详解】
①当时，由得，
解得；即；
②当时，由得，
解得，即；
③当时，由得，
解得，此时，这样的x不存在.
所以的解集.
【小问2详解】
证明：由（1）知，当时，，，
从而，
因此，