2024届北京市延庆区高考一模数学试题

这是一份2024届北京市延庆区高考一模数学试题，共11页。试卷主要包含了03， B 2， 解等内容，欢迎下载使用。

2024.03
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）若复数满足，则
（A）（B）
（C）（D）
（3）在的展开式中，的系数为
（A）（B）
（C）（D）
（4）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则
（A）（B）
（C）（D）
（5）已知正方形的边长为，点满足，则
（6）“”是“为第一或第三象限角”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知函数，则不等式的解集是
（8）设，，，则
（A）（B）
（C）（D）
（9）在等边中，，为所在平面内的动点，且，为边
上的动点，则线段长度的最大值是
（A）（B）
（C）（D）
（10）已知在正方体中，，是正方形内的动点，
，则满足条件的点构成的图形的面积等于
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
（12）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 ，的面积为 ．
（13）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值
为 ．
（14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块．
（15）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使得函数的最小值为；
②存在实数，使得函数的最小值为；
③存在实数，使得函数恰有个零点；
④存在实数，使得函数恰有个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知函数，的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
（17）（本小题13分）
第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
（Ⅰ）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
（Ⅱ）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望；
（Ⅲ）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系．
（18）（本小题15分）
如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，并求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线的一条切线方程为，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）若，无零点，求的取值范围．
（21）（本小题13分）
已知数列，记集合.
（Ⅰ）若数列为，写出集合；
（Ⅱ）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
参考答案
一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分）
1. B 2.C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. A
二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）
11．； 12. ，； 13．； 14； 15．①③
12题第一空3分，第二空2分；15题选对一个给3分，二个给5分，有错误不给分.
三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）
16. 解：
（Ⅰ）因为 …………2分
其中， …………3分
所以， …………5分
又因为，
所以. …………6分
（Ⅱ）因为 …………8分
所以 …………10分
则， …………12分
， …………13分
所以函数的单调增区间为 …………14分
没有出现扣一分,结果不写区间形式扣一分。
17.解：
（Ⅰ）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件. 由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．
所以． ……4分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为． ……5分
根据题意，， ……6分
， ……7分
． ……8分
随机变量的分布列是：
……9分
数学期望． ……11分
（Ⅲ） ……13分
18.解：（Ⅰ）证明：
方法一：在四棱柱中，连结，设，连结，在中，因为、分别为的中点，
所以， …………2分
又因为平面，平面， …………3分
所以. …………4分
方法二：在四棱柱中，设中点为，连结，，，
因为，
所以为平行四边形，
所以， ……1分
因为，
所以为平行四边形，
所以， ……2分
因为
所以平面， ……3分
因为平面
所以． ……4分
（Ⅱ）解:
选择条件①： 本问记为分．
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以，
所以，
在中，因为，，
所以，
在中，因为，，
所以，
所以，即，，
又因为，
所以如图建立空间直角坐标系， …………6分
其中，，，，且，， …………7分
因为侧面底面，，
所以，
因为平面
所以，故，…9分
设为平面的一个法向量，则即 .
不妨设，则,可得． …………12分
所以， …………14分
因为二面角的平面角是钝角,
所以二面角的余弦值为. …………15分
选择条件③：
因为底面是正方形，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，
因为侧面底面，且侧面底面，
所以，即，，
又因为，
所以如图建立空间直角坐标系， …………6分
下面同选择条件②.
19.解：
（Ⅰ）由题设， …………3分
解得． …………4分
所以的方程为． …………5分
（Ⅱ）方法一：
因为椭圆的方程为，所以，
因为为第二象限上的动点，设．…………6分
所以，即． …………7分
直线的方程为，即． …………8分
直线的方程为，即． …………9分
由 得． …………10分
直线的方程为，即． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
由 得． …………13分
， ………15分
（）
所以，即．
方法二：
因为椭圆的方程为，所以，
设直线的方程为，其中． …………7分
由 得． …………9分
直线的方程为，即． …………10分
由 得． …………11分
直线的方程为，即． …………12分
直线的方程为，即． …………13分
由 得． …………14分
因为，所以． …………15分
20.解：
（Ⅰ）函数的定义域为，设切点为，
因为， ………………1分
所以，即， ………………2分
因为，， ………………4分
所以，即，
所以，即. ………………5分
（Ⅱ）因为，在区间上为增函数，
所以在内恒成立， ………………7分
因为，所以， ………………8分
所以，即. ………………10分
（Ⅲ）因为，，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意； ……11分
当时，令，则，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
的最小值为， ……12分
当，即时，无零点，符合题意； ……13分
当时，有一个零点，不符合题意； ……14分
当时，的最小值，
因为，
所以，使得，不符合题意； ……15分
综上所述，当时，，无零点.

21.解：
（Ⅰ）. ………………4分
（Ⅱ）假设存在，使得，则有
，………6分
由于与奇偶性相同，
所以与奇偶性不同.
又因为，，
所以必有大于等于的奇数因子，
这与无以外的奇数因子矛盾.
故不存在，使得成立. …………………8分
（Ⅲ）首先证明时，对任意的都有.
若，使得：，
由于与均大于且奇偶性不同，所以不成立分
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.
若正整数其中，.
当时，由等差数列的性质有：
此时结论成立.
当时，由等差数列的性质有：
此时结论成立. 分
对于数列，求其相应集合中满足：有多少项.
由前面的证明可知正整数
不是集合中的项，
所以的最大值为. 分（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
12月16日
星期六
9:30
单人雪橇第1轮
10:30
单人雪橇第2轮
15:30
双人雪橇第1轮
16:30
双人雪橇第2轮
12月17日
星期日
9:30
单人雪橇第3轮
10:30
单人雪橇第4轮
15:30
团体接力