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江西省南昌市2024届高三下学期一模考试数学试题(Word版附解析)
展开这是一份江西省南昌市2024届高三下学期一模考试数学试题(Word版附解析),共10页。试卷主要包含了已知集合,则,已知复数满足,则,已知等差数列的前项和为,若,则,已知,则是的,已知,则,已知函数,则下列结论中错误的是等内容,欢迎下载使用。
本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟
一、单项选择题:共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则( )
A.3 B. C.4 D.10
3.已知等差数列的前项和为,若,则( )
A.51 B.34 C.17 D.1
4.已知,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线的焦点为是抛物线在第一象限部分上一点,若,则抛物线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知,则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数,则下列结论中错误的是( )
A.是奇函数 B.
C.在上递增 D.在上递增
8.木桶效应,也可称为短板效应,是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞,这只桶就无法盛满水,此时我们可以倾斜木桶,设法让桶装水更多.如图,棱长为2的正方体容器,在顶点和棱的中点处各有一个小洞(小洞面积忽略不计),为了保持平衡,以为轴转动正方体,则用此容器装水,最多能装水的体积( )
A.4 B. C.6 D.
二、多项选择题:共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知空间中两条不同的直线和两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10.已知圆与直线交于两点,设的面积为,则下列说法正确的是( )
A.有最大值2
B.无最小值
C.若,则
D.若,则
11.某环保局对辖区内甲、乙两个地区的环境治理情况进行检查督导,若连续10天,每天空气质量指数(单位:)不超过100,则认为该地区环境治理达标,否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是:甲地区平均数为80,方差为40,乙地区平均数为70,方差为90.则下列推断一定正确的是( )
A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75
B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65
C.甲地区环境治理达标
D.乙地区环境治理达标
12.已知直线是曲线上任一点处的切线,直线是曲线上点处的切线,则下列结论中正确的是( )
A.当时,
B.存在,使得
C.若与交于点时,且三角形为等边三角形,则
D.若与曲线相切,切点为,则
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量满足,且,则向量夹角的余弦值为__________.
14.的展开式中的系数是__________.
15.“南昌之星”摩天轮半径为80米,建成时为世界第一高摩天轮,成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟,甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮,那么在摩天轮上,他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.
16.用平面截圆锥面,可以截出椭圆、双曲线、抛物线,那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢?比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1,在一个圆锥中放入两个球,使得它们都与圆锥面相切,一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切,切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点,过点的母线与两个球分别相切于点,因此有,而是图中两个圆锥母线长的差,是一个定值,因此曲线是一个椭圆.如图2,两个对顶圆锥中,各有一个球,这两个球的半径相等且与圆锥面相切,已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为,球的半径为4,平面与圆锥的轴平行,且与这两个球相切于两点,记平面与圆锥侧面相交所得曲线为,则曲线的离心率为__________.
四、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)已知函数.
(1)求的单调递减区间;
(2)求的最大值.
18.(本小题12分)对于各项均不为零的数列,我们定义:数列为数列的“比分数列”.已知数列满足,且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若是公比为2的等比数列,求数列的前项和;
(2)若是公差为2的等差数列,求.
19.(本小题12分)如图,两块直角三角形模具,斜边靠在一起,其中公共斜边,交于点.
(1)求;
(2)求.
20.(本小题12分)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有的收益率,若投资期间经济形势不好,投资有的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万元.现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势,聘请费用为5000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计划;若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表明,投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8;投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是,经济形势不好的概率是.
(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率;
(2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理由.
21.(本小题12分)如图,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,已知为棱的中点,在底面的投影为线段的中点,是棱上一点.
(1)若,求证:平面;
(2)若,确定点的位置,并求二面角的余弦值.
22.(本小题12分)已知椭圆的离心率为,左右两顶点分别为,过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时,点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点关于原点的对称点为,设直线与直线相交于点,设直线的斜率为,试探究是否为定值,若为定值,求出定值并说明理由.
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数学参考答案及评分意见
一、单项选择题:共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
二、多项选择题:共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14.160 15. 16.
四、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(1),
令,得,即,
所以的单调递减区间为.
(2)当时,单调递增;
当时,单调递减,
所以,即的最大值为.
18.【解析】由题意知,
(1)因为,且是公比为2的等比数列,所以,
因为,所以数列首项为1,公比为4的等比数列,
所以;
(2)因为,且是公差为2的等差数列,所以,
所以,
所以,
所以,因为,
所以.
19.【解析】(1)由已知,,
,
因为,
所以
,
所以在中,
(2)【解法1】因为,
又因为,
所以,
即
,
解得.
【解法2】因为,
又因为,所以,则,
所以.
20.【解析】(1)记投资期间经济形势好为事件,投资期间经济形势不好为事件,
投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件,
则,
因此;
(2)若采取方案一,则该公司获得的利润值万元的分布列是
万元;
若采取方案二:设该公司获得的利润值为万元,有以下情况,
投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为好,,
其发生的概率为:,
投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为不好,,
其发生的概率为:,
投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为好,,
其发生的概率为:,
投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为不好,,
其发生的概率为:,
因此,随机变量的分布列为:
因此,万元,
因为,所以甲公司应该选择方案二.
21.【解析】(1)设,
则,
,且平面平面.
(2)平面,且平面,
,又,
平面,且平面,
,又,
平面,且平面,
.由已知,为等边三角形,
故为中点,
在底面上的投影为的中点.
,
以为原点,分别以为轴,
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系,
所以,
,
设是平面的一个法向量,则
,
令,则,即,
平面,
是平面的一个法向量,
,
因为二面角是一个锐角,
所以二面角的余弦值为.
22.【解析】(1)依题意可知,
由于,则直线的方程为,因为点到直线的距离为.
所以,解得,
所以,则,
所以椭圆的标准方程.
(2)设,直线的方程为.此时.
联立直线与椭圆方程消去得,
则有
不妨设,因为三点共线,则,
所以则有,
因为三点共线,则则有,
所以
,
所以,所以,
所以,所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
A
A
D
B
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
ACD
ACD
50
-20
0.4
0.6
-20.5
-1.5
49.5
0.18
0.5
0.32
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