福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷（Word版附解析）

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（完卷时间120分钟；满分150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2. 已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果.
【详解】将点代入，可得，
故的焦点到其准线的距离为1．
故选：B
3. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量，
所以，所以．
故选：D
4. 在中，，则的面积为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由余弦定理得，
且，所以，
所以．
故选：B
5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
所以在区间单调递减，所以，解得．
故选：D．
6. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题中条件可求得边长，建立方程，解出即可.
【详解】不妨设椭圆方程为，
当时，，所以，
因为四边形为正方形，所以，
即，所以，
所以，解得，
因为，所以．
故选：C.
7. 甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解.
【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得，
故选：D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析.
【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即，所以3是的一个周期.
因为，故C正确；
取符合题意的函数，则
所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确；
因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，
所以，故A不正确；
因为，故D不正确；
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最小值为1
C. 为递增数列D. 为递减数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出数列通项公式和前n项和公式，然后逐一判断各项
【详解】假设的公差为，由，所以，又，
所以，所以．
选项A：，故时的最小值为1，A正确；
选项B：，令，所以，可知在区间单调递增，
所以时取得最小值1，B正确；
选项C：，故为递增数列，C正确；
选项D：，因为，所以不是递减数列，D错误．
故选：ABC
10. 在长方体中，为的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 点到直线的距离为D. 点到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A,根据线线平行即可判断B，根据向量法即可求解空间距离，判断CD.
【详解】如图建立空间直角坐标系，易知，，，，，．

A，，，所以A错误；
B，显然，平面,平面,可得平面，所以B正确；
C，记直线的单位方向向量为，则，又，
所以向量在直线上的投影向量为，
则有到直线的距离为，故C正确；
D，设平面的法向量为，由，
令，可得，
又，所以点到平面的距离，故D错误．
故选：BC
11. 通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则存在5个5元数组，使得
B. 若，则存在12个5元数组，使得
C. 若元数组，则
D. 若元数组，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给新定义理解题意，由组合知识即可判断AB，设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1与另一项为0的共有个，根据新定义判断CD.
【详解】选项A：由题意，5个位置选则1个位置安排1即可，满足条件的数组共有个，故A正确；
选项B：由题意5个位置选则3个位置安排0即可，满足条件的数组共有个，故B错误；
选项C：设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，
从而对应项一项为1与另一项为0的共有个，这里，
从而，而，故C正确，同理D正确．
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数对应的点的坐标写出，再结合复数的乘法计算得出结果.
【详解】依题意可知，所以．
故答案为：.
13. 底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得的圆台的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件求出圆台的上底面半径，下底面半径及母线长，再利用圆台的侧面积公式计算即可.
【详解】由已知是边长为4的等边三角形，，又，
可得圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，
则该圆台的侧面积为．
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与圆：分别切于，两点，与轴分别交于，两点，则使得周长为的所有点的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，先确定点满足的条件，得到点的轨迹方程，再根据为第一象限的整点确定满足条件的点的个数即坐标.
【详解】如图：

因为直线，分别与圆：相切于，两点，且直线，分别与轴交于，两点，
所以，，，
所以的周长为
，
所以，设，所以，
因为为整点，所以点的坐标为或．
故答案为：或
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，是的零点．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的零点性质并结合范围求解.
（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.
【小问1详解】
由已知可得，
解得，
即，
又，可得．
【小问2详解】
由，可得
，
其中，
则当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值2，
故函数的值域为．
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，在上，且．
（1）证明：平面；
（2）若，为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可证平面，得，由平面平面的性质，可证平面；
（2）两两垂直，建立空间直角坐标系，由已知求出点坐标，向量法求两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
解法一：
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
解法二：
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面平面，
所以平面．
【小问2详解】
解法一：
由（1）得平面，又平面，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，所以，
由（1）知两两垂直，如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
所以，
显然平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
即，取，则，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解法二：
由（1）知两两垂直，如图，以点原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．
设，则，
所以，
由，得，解得，或（舍去），
所以，
所以，
显然平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
即，取，则，
则，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．
（2）对表格中数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：．
【答案】（1）
（2）结论不一致，理由见解析
【解析】
【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布的定义和数学期望公式进行求解即可.
（2）根据所给的公式进行运算求解即可.
【小问1详解】
由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，
故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．
法一：的所有可能取值为0，1，2，3．
则，
，
所以．
法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为；
从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为，
则，
所以，
所以．
【小问2详解】
零假设为：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
依据的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，
原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
18. 已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．
（1）若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；
（2）若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
【答案】（1）36 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解法一：依题意可得点为的右焦点，设，则，又，即可得到，利用基本不等式求出的最小值，即可得到轴，从而求出交点坐标，即可得解；解法二：设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式得到，从而求出的最小值，余下同法一；
（2）解法一：设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可求出，再由双曲线的定义得到，即可得证；解法二：结合（1）求出，设的中点的坐标为，求出点坐标，从而得到的垂直平分线，判断点在直线上，即可说明.
【小问1详解】
解法一：因为动直线与轴交于点，因为右焦点为，所以点为的右焦点．
设，
因为两点位于轴同侧，所以，
因为是的等比中项，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以，
当时，所以，所以轴，
由解得，
所以，所以，
由双曲线的定义得，
所以，
即的周长为36.
解法二：设，
由得，
因为直线与交于两点，
所以且，
由两点位于轴的同侧，可得，解得，
又是的等比中项，故可得，
故，
即，
又，故，
可得，即且，所以，
当即时，所以轴，由解得，
所以，所以，
又，所以，
所以，
即的周长为36．
【小问2详解】
解法一：设，
由得，
因为直线与交于两点，
所以且，
由，可得，故，
又两点位于轴的异侧，所以，所以，即，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
不妨设点在第二象限，根据双曲线定义，得，即
解得，所以是等腰三角形．
解法二：因为两点位于轴的异侧，故，所以，
且由（1）知，
解得或，
当时，设的中点的坐标为，
，所以点的坐标为，
又的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为，
即，
又点在直线上，所以，即为等腰三角形．
当时，同理可证，为等腰三角形．
综上所述，为等腰三角形．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求证：；
（3）若且，求证：．
【答案】（1）在区间上单调递减
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求，令，求，讨论的大小可证得，即，即可得出的单调性；
（2）法一：要证，即证，记，讨论的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证即证即可.
（3）法一：由（1）可知为减函数，所以，要证即证，构造函数证明即可；法二：先证，即，则，再结合基本不等式即可证明.
【小问1详解】
的定义域为，，
记，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，即，
所以在区间上单调递减．
【小问2详解】
法一：先证，记，
则，
记，则，所以时，递增；
时，递减．
所以，所以，又，所以，故．
再证，即证，记，
则，
记，则，所以在递增，
所以，所以，即，
所以.
法二：构造函数，
当时，单调递增，，所以，
构造函数，
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以，即，即成立．
所以，
所以，
则只需证明，即，而显然成立，
所以．
【小问3详解】
法一：由（2）知的最大值为0．
因为且，则之中至少有一个大于1，
不妨设，则，由（1）可知为减函数，所以，
所以，
因为
，
记，则，
因为，所以，所以，所以．
法二：先证，记，
则，
记，则，所以时，递增；
时，递减．
所以，所以，又，所以，故．
所以，
因为且，
所以，
所以，所以，则．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
外向型
内向型
男性
45
15
女性
20
10
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635