重庆市渝北中学2023-2024学年高三下学期2月月考试题数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市渝北中学2023-2024学年高三下学期2月月考试题数学试卷（Word版附解析），共25页。

注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
3. 2023 年11月30日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D. 3
5. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（ ）
A. 关于对称B. 为奇函数
C. D. 为偶函数
11. 已知正项数列满足，，其中，则（ ）
A. 为单调递减数列B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等差数列满足，前项和为，则______________________．
13. 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.
14. 如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为____________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．
（1）求通项公式；
（2）令，求数列的前项积．
16. 某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布．
（1）已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取K（，）个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求；
（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布，则，，．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角大小.
18. 已知双曲线C中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率．
19. 已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围.
渝北中学2023-2024学年(下)高三2月月考质量监测
数学 试题
（全卷共四大题19小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，
所以，
故选：A
2. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】
【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A、C，其它易证.
【详解】若，因为平面，，
所以，同理，过m上一点做直线n的平行线，则，
设由m和确定的平面为，则，
而，，同上可知，故，选项C正确；
有可能，所以选项A错误；
由上可知，且，所以，或，选项B错误；
如上图，不一定成立，选项D错误.
故选：C
3. 2023 年11月30日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出在红岩村被选中的条件下共有的选法数，再求出10号线不少于2个站点的选法数，根据古典概型的计算公式即可求得答案.
【详解】在红岩村被选中的条件下，还需从其它5个站点中选择3个，共有种选法，
其中10号线不少于2个站点的选法有种，
故在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为，
故选：B
4. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.
【详解】根据题意，将，代入可得；
将，代入可得；
所以可知.
故选：D
5. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据差角公式和辅助角公式将题中所给的条件化简，求得，再利用诱导公式得到结果.
【详解】因为，
可得，
所以.
故选：B.
6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【详解】圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以．
故选：A．
7. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.
【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，
当时，，故排除A，只有C满足条件.
故选：C
8. 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设直线方程为，联立方程组得出两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于两点坐标的式子，使用基本不等式求出最小值.
【详解】抛物线的焦点，
过的斜率为0的直线为，直线与抛物线有且只有一个交点，
与条件矛盾，故直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，
联立方程组，得，
方程的判别式，
设，则，，所以，
由抛物线的性质得，
.
当且仅当时，等号成立，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．
【详解】设，，其中.
对于选项A: ，所以与不一定相等，故选项A错误；
对于选项B: 因为，
所以，
因为，
所以,故选项B正确；
对于选项C: 因为,
所有
因为，
所以,故选项C正确；
对于选项D:因为，所以
，而与不一定相等,故选项D错误；
故选：BC.
10. 已知，定义域为R，且（），，若为奇函数，则（ ）
A. 关于对称B. 为奇函数
C. D. 为偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性，对称性定义一一判断即可.
【详解】因为的定义域为R，且，
所以关于对称，故A正确；
但不能确定为奇函数，故B错误；
根据题意，是定义域为的奇函数，
所以，令，得，故C正确；
因为，则，
结合，则，所以，
即为偶函数，故D正确.
故选：ACD
11. 已知正项数列满足，，其中，则（ ）
A. 为单调递减数列B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，放缩法证明不等式逐个选项分析即可.
【详解】对于AB，由已知得，令，
定义域为，，令，，
当时，此时恒成立，故在上单调递减，
，也可得，即，
故在上单调递减，当时，，则，
故，则，即，故为单调递减数列，
故A正确，显然，故B错误；
对于C，欲证，且由题意得，
即证，即证，取指数得，
又易知，化简得，故证明恒成立即可，
令，，而，
故在上单调递增，且，故，
即恒成立，故得证，故C正确，
对于D，由C可知，，，，，，
上式相加，得，
故得证，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数证明数列的单调性，再构造函数结合放缩法证明不等式即可.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等差数列满足，前项和为，则______________________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据条件，利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果.
【详解】因为数列是等差数列，又，
所以，
故答案为：.
13. 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案：
14. 如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得出球是正方体的棱切球，进而得出圆心和半径，再利用球的性质得出点的位置，利用几何关系得出就是异面直线与所成角，再计算出，即可求出结果.
【详解】因为点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，
则球是正方体的棱切球，球心为对角线的中点，半径为，
取的中点，则点为延长线与球O表面的交点时点到平面的距离最大，
此时，，．
连接OE，则，就是异面直线与所成角，
因为，所以，
所以异面直线与所成角余弦值的平方为，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用点都在球的表面上，得到球为正方体的棱切球，利用球的性质，将球面上的点到平面的最大距离转化成球心到平面的距离不处理，再利用几何关系来解决问题.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再由求出，验证，从而求解.
（2）由（1）可得，从而可求解.
【小问1详解】
由是首项为、公差为的等差数列，
故，即，
当时，，
故，
当时，，符合上式，故；
【小问2详解】
由，，故，
则
.
16. 某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布．
（1）已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取K（，）个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求；
（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据题设求得随机变量的期望和标准差，由条件算出，利用正态分布图的对称性性质即可求得；
（2）根据题意，得出随机变量的可能值，结合条件可得概率，从而可得分布列及数学期望.
【小问1详解】
由题意则，
所以，于是随机变量的期望为，标准差为，
因，
故.
【小问2详解】
设取出黄色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2．
则
故随机变量的分布列为：
所以数学期望为：
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，可证，进而平面；
（2）根据已知可证平面，取中点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面夹角的向量公式可解.
【小问1详解】
取中点，连接点为中点，
.
底面是边长为2的正方形，为中点，
.
四边形是平行四边形.
,平面平面
平面.
【小问2详解】
平面平面.
又底面是边长为2的正方形，
平面，平面，平面.
平面.又平面.
.
底面是边长为2的正方形，，
为中点，.
又平面，平面，
平面.
取中点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以，
设平面法向量为，
则
设平面法向量为，
则，
，
所以向量的夹角为，结合图形可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
18. 已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为，将代入双曲线方程，然后根据直线斜率公式即可得到关于的两个方程，即可求解.
（2）由题意设直线方程为，，，与双曲线联立后根据根与系数关系可以表示出与，分直线的斜率是否存在两种情况进行讨论，通过直线的方程表示出点的坐标，由已知条件可知点为中点，进而可将点坐标及直线斜率用表示，通过之前求得的与即可进行求解.
【小问1详解】
第一步：根据点P在双曲线上得a，b的关系式
由题意设双曲线C的方程为()，
由点在C上，得．①
第二步：根据直线的斜率公式得a，b的关系式
设C的上、下焦点分别为，，则，解得，
所以．②
第三步：联立方程解得，的值
由①②得，，
第四步：得双曲线C的标准方程
故双曲线C的标准方程为．
【小问2详解】
第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为，，，
联立，得方程组
整理得
所以，，解得，
所以，，
则．
第二步：用，表示点D的坐标
当直线PE的斜率不存在时，易得，，，，此时直线AB的斜率为．当直线PE的斜率存在时，直线PE的方程为，所以点D的坐标为，
由，可得，
第三步：用，表示点B的坐标
由，得点B为DF的中点，所以
，
则，
第四步：根据斜率的计算公式求直线AB的斜率．
所以
．
故直线AB的斜率为．
【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19. 已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；
（3），求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）有一个极大值，一个极小值，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）当时，求得，令，利用导数求得的单调性与，得到存在使得，存在使得，进而得到答案；
（3）求得，根据题意，得到，令，得到使得，利用函数的单调性，求得，再由，求得，再由，设，利用导数求得函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，可得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
小问2详解】
解：当时，，定义域为，
可得，
令，则，
当时，；当时，，
所以在递减，在上递增，
所以，
又由，
存在使得，存在使得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以时，有一个极大值，一个极小值.
【小问3详解】
解：由，可得，
由，因为，可得，
令，则在上递减，
当时，可得，则，所以，
则，
又因为，使得，即
且当时，，即；
当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因为，设，则，
可知在上递增，且，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
0
1
2
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