2024年高考一轮复习精细讲义第14讲圆周运动(原卷版+解析)

这是一份2024年高考一轮复习精细讲义第14讲圆周运动(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了线速度，角速度，周期和频率，向心加速度等内容，欢迎下载使用。


考点一 圆周运动的运动学问题
一．描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动快慢．
v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T).
2．角速度：描述物体转动快慢．
ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T).
3．周期和频率：描述物体转动快慢．
T＝eq \f(2πr,v)，T＝eq \f(1,f).
4．向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量．
an＝rω2＝eq \f(v2,r)＝ωv＝eq \f(4π2,T2)r.
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v＝ωr和a＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
(1)由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
(2)由a＝eq \f(v2,r)＝ω2r知，在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
【典例1】(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为eq \f(4,π) m
D．加速度大小为4π m/s2
【典例2】如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( )
A．角速度之比ωA∶ωB＝eq \r(2)∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶eq \r(2)
C．线速度之比vA∶vB＝eq \r(2)∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶eq \r(2)
【典例3】(多选)如图所示为一链条传动装置的示意图．已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的齿数比为k，以下说法中正确的是( )
A．从动轮是顺时针转动的
B．主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C．从动轮的转速为nk
D．从动轮的转速为eq \f(n,k)
【典例4】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动：如图2甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图2乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB.
考点二 圆周运动的动力学问题
1.向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
（2）大小：F＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)＝mωv＝4π2mf2r
（3）方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
（4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
2.圆周运动、向心运动和离心运动
（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动
两种运动具体比较见下表：
（2）离心运动
本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．
受力特点(如图所示)
①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．
④当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．
3.解题方法
（1）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
（2）向心力的确定
①先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
（3）解决动力学问题要注意三个方面的分析
①几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等．
②运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力．
③受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力．
【典例1】在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. eq \r(\f(gRh,L)) B． eq \r(\f(gRh,d))
C. eq \r(\f(gRL,h)) D.eq \r(\f(gRd,h))
【典例2】有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小，半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动的半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直筒壁上做匀速圆周运动，这时使车和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
【典例3】 (多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P′位置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．细线所受的拉力变小
B．小球P运动的角速度变大
C．Q受到桌面的静摩擦力变大
D．Q受到桌面的支持力变大
【典例4】 如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动．在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止．下列说法正确的是( )
A．小球A的合力小于小球B的合力
B．小球A与框架间可能没有摩擦力
C．小球B与框架间可能没有摩擦力
D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
几种常见的向心力来源
(1)飞机在水平面内的圆周运动，如图1所示；
(2)火车转弯，如图2所示；
(3)圆锥摆，如图3所示；
(4)飞车走壁，如图4所示；
(5)水平路面汽车转弯，如图5所示；
(6)水平转台，如图6所示．
考点三 竖直面内的圆周运动
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．轻绳和轻杆模型涉及的临界问题
题组一 “轻绳”模型
【典例1】(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是eq \r(Rg)
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
【典例2】如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcs θ，式中a、b为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )
A.eq \f(b,2m)B．eq \f(2b,m)
C.eq \f(3b,m) D.eq \f(b,3m)
【典例3】 如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足( )
A．最小值eq \r(4gr) B．最大值eq \r(6gr)
C．最小值eq \r(3gr) D．最大值eq \r(7gr)
题组二 “轻杆”模型
【典例4】(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是( )
A．当v的值为eq \r(gL)时，杆对小球的弹力为零
B．当v由eq \r(gL)逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由eq \r(gL)逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
【典例5】(多选) 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq \r(gR＋r)
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【典例6】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F­v2图象如乙图所示，则( )
A．小球的质量为eq \f(aR,b)
B．当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v临＝eq \r(gr)对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
考点四 圆周运动中的临界问题
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态．
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【典例1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )
A.eq \r(5) rad/sB．eq \r(3) rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【典例2】(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10 m/s2)( )
A．v0≥0B．v0≥4 m/s
C．v0≥2eq \r(5) m/s D．v0≤2eq \r(2) m/s
分析圆周运动问题的基本思路
1．如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
2. 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
3. 如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，地面上行驶的汽车重力G＝3×104 N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是( )
A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于3×104N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
4．风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被遮挡．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )
A．转速逐渐减小，平均速率为eq \f(4πnr,Δt)
B．转速逐渐减小，平均速率为eq \f(8πnr,Δt)
C．转速逐渐增大，平均速率为eq \f(4πnr,Δt)
D．转速逐渐增大，平均速率为eq \f(8πnr,Δt)
5．某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度均为4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )
A．0.42 s B．0.56 s
C．0.70 s D．0.84 s
6. 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
7. (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
8. (多选)如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤ eq \r(\f(μg,r))
D．转台的角速度一定满足ω≤ eq \r(\f(2μg,3r))
9．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
10．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞ eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
11．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
12．如图所示，甲、乙两个质量相同的小球（视为质点）用等长轻质细线1、2连接，悬挂在天花板上的O点，两球在各自的水平面内做匀速圆周运动，并处于相对静止状态，细线与竖直方向的夹角分别为、（、非常小，可以取，）。则（ ）

A．
B．甲、乙两球的动量之比为
C．甲、乙两球的向心力之比为
D．细线1、2拉力的竖直分力之比为
13．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
14．如图所示，物体A、B用细线连接，在同一高度做匀速圆周运动，圆心均为点O。在某时刻，细线同时断裂，两物体做平抛运动，同时落在水平面上的同一点。连接A、B的细线长度分别为10l、5l，A、B圆周运动的半径分别为6l、4l，则O点到水平面的高度为（忽略物体的大小和细线质量）（ ）
A．6lB．10lC．12lD．15l
15．（多选）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，质量为0.6kg的小球C（小球可视为质点）用细绳拴在铁钉B上，A、B、C在同一直线上，时，给小球一垂直于绳、大小为2m/s的速度，使小球在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力大小随时间变化的规律如图（b）所示，若细绳能承受的最大拉力为6.4N。则下列说法正确的是（ ）

A．B．两钉子间的距离为0.2m
C．当时，细绳承受的拉力大小为3ND．小球从开始运动到绳被拉断历时2.0πs
16．（多选）如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，细线刚好拉直，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为r、2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳子的最大张力为
B．A与转盘的摩擦力先增大后减小
C．B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
17．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h＝5 m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．(取g＝10 m/s2)
(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
(3)当圆盘的角速度为1.5 π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2 m，求容器的加速度a.
18．如图1所示，水平圆盘上质量与的A、B两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起随圆盘绕竖直中心轴转动，转动角速度从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半径，。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。
（1）若先将轻绳去掉，将A、B两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出A、B相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将A、B两物块同时放到图所示位置（无轻绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在A、B两物块间加上轻绳，如1所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度为多大时，A受到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至时，B受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至时，AB物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求的大小？并将物块B受到的摩擦力与的分段函数关系图像画在图2中（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。
19．如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径的光滑圆弧轨道CDE相接于C，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD，DE对应的圆心角。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为。一质量为的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后物块滑上传送带EF。已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，已知传送带以v=12m/s的速度向上转动，且物块与传送带EF间的动摩擦因数，g 取 10m/s2，，。求：
（1）物块从A点飞出的速度大小和在A点受到的支持力大小（结果保留两位有效数字）；
（2）物块到达C点时的速度大小及对C点的压力大小；
（3）试通过计算判定物块能否被送到F端。
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度的大小不变的圆周运动
线速度的大小不断变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小和方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高
点的临
界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
v临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥ eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)当v＜eq \r(gr)时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大
第14讲 圆周运动
——划重点之精细讲义系列
考点一 圆周运动的运动学问题
一．描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动快慢．
v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T).
2．角速度：描述物体转动快慢．
ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T).
3．周期和频率：描述物体转动快慢．
T＝eq \f(2πr,v)，T＝eq \f(1,f).
4．向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量．
an＝rω2＝eq \f(v2,r)＝ωv＝eq \f(4π2,T2)r.
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v＝ωr和a＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
(1)由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
(2)由a＝eq \f(v2,r)＝ω2r知，在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
【典例1】(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为eq \f(4,π) m
D．加速度大小为4π m/s2
解析：选BCD.角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝π rad/s，A错误；转速为n＝eq \f(ω,2π)＝0.5 r/s，B正确；半径r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(4,π) m，C正确；向心加速度大小为a＝eq \f(v2,r)＝4π m/s2，D正确．
【典例2】如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( )
A．角速度之比ωA∶ωB＝eq \r(2)∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶eq \r(2)
C．线速度之比vA∶vB＝eq \r(2)∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶eq \r(2)
解析：选D.板上A、B两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项A、B错误；线速度v＝ωr，线速度之比vA∶vB＝1∶eq \r(2)，选项C错误，D正确．
【典例3】(多选)如图所示为一链条传动装置的示意图．已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的齿数比为k，以下说法中正确的是( )
A．从动轮是顺时针转动的
B．主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C．从动轮的转速为nk
D．从动轮的转速为eq \f(n,k)
解析：选BC.主动轮逆时针转动，带动从动轮也逆时针转动，用链条传动，两轮边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r主：r从＝k,2πn·r主＝2πn从·r从可得n从＝nk，C正确，D错误．
【典例4】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
解析：选D.A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，eq \f(vb,RB)＝eq \f(vc,RC)，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B错误．转速之比等于角速度之比，故C错误．由a＝ωv得：aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确．
常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动：如图2甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴传动：如图2乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB.
考点二 圆周运动的动力学问题
1.向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
（2）大小：F＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)＝mωv＝4π2mf2r
（3）方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
（4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
2.圆周运动、向心运动和离心运动
（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动
两种运动具体比较见下表：
（2）离心运动
本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．
受力特点(如图所示)
①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．
④当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．
3.解题方法
（1）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
（2）向心力的确定
①先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
（3）解决动力学问题要注意三个方面的分析
①几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等．
②运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力．
③受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力．
【典例1】在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. eq \r(\f(gRh,L)) B． eq \r(\f(gRh,d))
C. eq \r(\f(gRL,h)) D.eq \r(\f(gRd,h))
解析：选B.汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtan θ.根据牛顿第二定律：F向＝meq \f(v2,R)，tan θ＝eq \f(h,d)，解得汽车转弯时的车速v＝ eq \r(\f(gRh,d))，B对．
【典例2】有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小，半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动的半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直筒壁上做匀速圆周运动，这时使车和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
解析：选B.在竖直筒壁上的摩托车只受三个力作用，其中竖直方向上重力与摩擦力是一对平衡力，水平方向上筒壁对车的弹力提供了车和人整体做匀速圆周运动的向心力，B正确．
【典例3】 (多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P′位置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．细线所受的拉力变小
B．小球P运动的角速度变大
C．Q受到桌面的静摩擦力变大
D．Q受到桌面的支持力变大
解析：选BC. 金属块Q在桌面上保持静止，根据平衡条件知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不变，故D错误．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线拉力的合力提供向心力，如图，则有FT＝eq \f(mg,cs θ)，Fn＝mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝ eq \r(\f(g,Lcs θ))，使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cs θ减小，则得到细线拉力FT增大，角速度增大，A错误、B正确．对Q，由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故C正确．
【典例4】 如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动．在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止．下列说法正确的是( )
A．小球A的合力小于小球B的合力
B．小球A与框架间可能没有摩擦力
C．小球B与框架间可能没有摩擦力
D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
解析：选C.由于合力提供向心力，依据向心力表达式F＝mrω2，已知两球质量、运动半径和角速度都相同，可知向心力相同，即合力相同，故A错误；小球A受到重力和弹力的合力不可能垂直指向OO′轴，故一定存在摩擦力，而B球的重力和弹力的合力可能垂直指向OO′轴，故B球摩擦力可能为零，故B错误，C正确；由于不知道B球是否受到摩擦力，故而无法判定圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力的变化情况，故D错误．
几种常见的向心力来源
(1)飞机在水平面内的圆周运动，如图1所示；
(2)火车转弯，如图2所示；
(3)圆锥摆，如图3所示；
(4)飞车走壁，如图4所示；
(5)水平路面汽车转弯，如图5所示；
(6)水平转台，如图6所示．
考点三 竖直面内的圆周运动
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．轻绳和轻杆模型涉及的临界问题
题组一 “轻绳”模型
【典例1】(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是eq \r(Rg)
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
解析：选AC.轻绳模型中小球能过最高点的临界速度为v＝eq \r(gR)，此时绳中张力为零．小球过最高点时绳子中的张力可能为零，也可能向下，故选项A、C正确，B、D错误．
【典例2】如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcs θ，式中a、b为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )
A.eq \f(b,2m)B．eq \f(2b,m)
C.eq \f(3b,m) D.eq \f(b,3m)
解析：选D.当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，FT1＝a＋b，FT1＝mg＋eq \f(mv\\al(2,1),L)；当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，FT2＝a－b，FT2＝－mg＋eq \f(mv\\al(2,2),L)；由动能定理有mg·2L＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，联立解得g＝eq \f(b,3m)，选项D正确．
【典例3】 如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足( )
A．最小值eq \r(4gr) B．最大值eq \r(6gr)
C．最小值eq \r(3gr) D．最大值eq \r(7gr)
解析：选D.要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝meq \f(v\\al(2,0),r)，对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒得eq \f(1,2)mveq \\al(2,min)＝mg·2r＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为eq \r(5gr)，A、C错误；为了不会使环在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝meq \f(v\\al(2,1),r)，从最低点到最高点由机械能守恒得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mg·2r＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为eq \r(7gr)，B错误，D正确．
题组二 “轻杆”模型
【典例4】(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是( )
A．当v的值为eq \r(gL)时，杆对小球的弹力为零
B．当v由eq \r(gL)逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由eq \r(gL)逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
解析：选ABD.在最高点，若速度v＝eq \r(gL)，则轻杆对小球的作用力为零，当v＞eq \r(gL)，轻杆表现为拉力，速度增大，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，A、B正确；当v＜eq \r(gL)时，轻杆表现为支持力，速度减小，向心力减小，则杆对小球的支持力增大，C错误；在最高点，根据F向＝meq \f(v2,L)得，速度增大，向心力逐渐增大，D正确．
【典例5】(多选) 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq \r(gR＋r)
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选BC.在光滑圆形管道的最高点，小球的速度可以等于零，A错误，B正确；在ab线以下时，外侧管壁对小球的弹力要提供向心力，而在ab线以上，当速度较小时，小球要挤压内侧管壁，故C正确，D错误．
【典例6】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F­v2图象如乙图所示，则( )
A．小球的质量为eq \f(aR,b)
B．当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：选AD.由图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力，mg＝meq \f(v2,R)＝meq \f(b,R)，即重力加速度g＝eq \f(b,R)，故B错误；当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹＝mg＝a，即小球的质量m＝eq \f(a,g)＝eq \f(aR,b)，故A正确；
根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2＜b时，mg－F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向上，当v2＞b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向下，v2＝c＞b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)＝meq \f(2b,R)，又g＝eq \f(b,R)，F弹＝meq \f(2b,R)－mg＝mg，故D正确．
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v临＝eq \r(gr)对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
考点四 圆周运动中的临界问题
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态．
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【典例1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )
A.eq \r(5) rad/sB．eq \r(3) rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C.小物块恰好滑动时，应在A点，对滑块受力分析．由牛顿第二定律得μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，C正确．
【典例2】(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10 m/s2)( )
A．v0≥0B．v0≥4 m/s
C．v0≥2eq \r(5) m/s D．v0≤2eq \r(2) m/s
解析：选CD.当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤eq \f(mv2,r)，又根据机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv2＋2mgr＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得v0≥2eq \r(5) m/s，C正确．当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，得v0≤2eq \r(2) m/s，D正确．
分析圆周运动问题的基本思路
1．如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
解析：选A.P、Q两点都是绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ωP＝ωQ，选项A对．根据圆周运动线速度v＝ωR，P、Q两点到地轴的距离不等，即P、Q两点圆周运动线速度大小不等，选项B错．Q点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度大，选项C错．P、Q两物体均受到万有引力和支持力作用，二者的合力是圆周运动的向心力，我们把与支持力等大反向的平衡力即万有引力的一个分力称为重力，选项D错．
2. 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
解析：选A.若拉力突然消失，小球将沿切线Pa做离心运动，A正确；若拉力突然变小，小球将沿Pb做离心运动，而拉力变大时，小球应沿Pc做近心运动，故B、C、D均错误．
3. 如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，地面上行驶的汽车重力G＝3×104 N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是( )
A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于3×104N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
解析：选C.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力越小，不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力，选项C正确A、B错误；如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有完全失重的感觉，选项D错误．
4．风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被遮挡．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )
A．转速逐渐减小，平均速率为eq \f(4πnr,Δt)
B．转速逐渐减小，平均速率为eq \f(8πnr,Δt)
C．转速逐渐增大，平均速率为eq \f(4πnr,Δt)
D．转速逐渐增大，平均速率为eq \f(8πnr,Δt)
解析：选B.从图中可看出，挡光时间越来越长，所以转速减小，Δt时间内有4个挡光时间，所以Δt时间内风轮转过的弧长为2πrn×4，平均速率v＝eq \f(8πnr,Δt)，B正确．
5．某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度均为4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )
A．0.42 s B．0.56 s
C．0.70 s D．0.84 s
解析：选B.由线速度和周期关系T＝eq \f(2πR,v)可得TP＝eq \f(2π×0.28,4π) s＝0.14 s，TQ＝eq \f(2π×0.16,4π) s＝0.08 s，设该时间的最小值为t，则该t是两个周期数值的最小公倍数，即t＝0.56 s，选项B正确．
6. 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ＝mωeq \\al(2,0)lsin θ
解得ωeq \\al(2,0)＝eq \f(g,lcs θ)
即ω0＝ eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s.
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan α＝mω′2lsin α
解得：ω′2＝eq \f(g,lcs α)，即ω′＝ eq \r(\f(g,lcs α))＝2eq \r(5) rad/s.
答案：(1)eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s (2)2eq \r(5) rad/s
7. (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
解析：选AC.类比火车转弯时的运动和受力情况．当汽车的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此时汽车只受重力和支持力，这两个力的合力提供向心力，故路面一定是外高内低，构成一个斜面，A正确．当车速在低于vc的一定范围内时，车所需向心力减小，具有向内侧滑动的趋势，但不一定滑动，故B错误．同理，当车速在高于vc的一定范围内，车辆有向外侧滑动的趋势，当车速高于某个速度值时，汽车受到的摩擦力达到最大静摩擦力，汽车便会向外侧滑动，故C正确．路面结冰时，最大静摩擦力减小，vc值不变，D错误．
8. (多选)如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤ eq \r(\f(μg,r))
D．转台的角速度一定满足ω≤ eq \r(\f(2μg,3r))
解析：选BD.对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有f＝(3m)ω2r≤μ(3m)g，故选项A错误，B正确；由于A、AB整体、C受到的静摩擦力均提供向心力，故对A有(3m)ω2r≤μ(3m)g，解得ω≤ eq \r(\f(μg,r))；
对AB整体有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，解得
ω≤ eq \r(\f(μg,r))；
对C有mω2(1.5r)≤μmg，解得ω≤ eq \r(\f(2μg,3r)).
选项C错误，D正确．
9．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B.旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(g,r))，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．
10．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞ eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
解析：选AC.对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta＝eq \f(mg,sin θ)，为定值，A正确，B错误；当Tacs θ＝mω2l⇒ω＝ eq \r(\f(gct θ,l))时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于绳b可能没有弹力，故绳b突然被剪断，则a绳的弹力可能不变，D错误．
11．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
解析：选AB.要使赛车绕赛道一圈时间最短，则通过弯道的速度都应最大，由f＝2.25mg＝meq \f(v2,r)可知，通过小弯道的速度v1＝30 m/s，通过大弯道的速度v2＝45 m/s，故绕过小圆弧弯道后要加速，选项A、B正确；如图所示，由几何关系可得AB长x＝eq \r(L2－R－r2)＝50eq \r(3) m，故在直道上的加速度a＝eq \f(v\\al(2,2)－v\\al(2,1),2x)＝eq \f(452－302,2×50\r(3)) m/s2≈6.5 m/s2，选项C错误；由sineq \f(θ,2)＝eq \f(x,L)＝eq \f(\r(3),2)可知，小圆弧对应的圆心角θ＝eq \f(2π,3)，故通过小圆弧弯道的时间t＝eq \f(θr,v1)＝eq \f(2πr,3v1)＝eq \f(2×3.14×40,3×30) s＝2.79 s，选项D错误．
12．如图所示，甲、乙两个质量相同的小球（视为质点）用等长轻质细线1、2连接，悬挂在天花板上的O点，两球在各自的水平面内做匀速圆周运动，并处于相对静止状态，细线与竖直方向的夹角分别为、（、非常小，可以取，）。则（ ）

A．
B．甲、乙两球的动量之比为
C．甲、乙两球的向心力之比为
D．细线1、2拉力的竖直分力之比为
【答案】D
【详解】A．甲、乙相对静止做稳定的匀速圆周运动，每转一圈需要的时间相同，角速度相等设为，设细线1、2的长度均为L，拉力分别、，设甲、乙的质量均为m，对乙进行受力分析，把分别沿竖直方向和水平方向分解，则有
对甲、乙组成的整体进行受力分析，把分别沿竖直方向和水平方向分解，则有
联立以上式子解得
故A项错误；
B．根据
结合之前的分析可得
故B项错误；
C．对甲球受力分析有
对乙球同理有
结合之前的分析解得
故C项错误；
D．由之前的分析可知，两细线竖直方向分力分别为
解得
故D项正确。
故选D。
13．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【答案】D
【详解】AB．根据平抛运动的规律
解得
可知若h1=h2，则
v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则
选项AB错误；
C．若，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项C错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，在圆周上单位时间内单位长度的水量为
若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
选项D正确。
故选D。
14．如图所示，物体A、B用细线连接，在同一高度做匀速圆周运动，圆心均为点O。在某时刻，细线同时断裂，两物体做平抛运动，同时落在水平面上的同一点。连接A、B的细线长度分别为10l、5l，A、B圆周运动的半径分别为6l、4l，则O点到水平面的高度为（忽略物体的大小和细线质量）（ ）
A．6lB．10lC．12lD．15l
【答案】C
【详解】两球落地时水平方向的位移关系如图
由几何关系可得
由平抛规律可知水平方向
下落的高度
小球做圆周运动时受力情况如图
由相似关系可得
联立可得
故选C。
15．（多选）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，质量为0.6kg的小球C（小球可视为质点）用细绳拴在铁钉B上，A、B、C在同一直线上，时，给小球一垂直于绳、大小为2m/s的速度，使小球在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力大小随时间变化的规律如图（b）所示，若细绳能承受的最大拉力为6.4N。则下列说法正确的是（ ）

A．B．两钉子间的距离为0.2m
C．当时，细绳承受的拉力大小为3ND．小球从开始运动到绳被拉断历时2.0πs
【答案】BCD
【详解】AB．在内绳子的拉力不变，根据牛顿第二定律
解得
在内绳子的拉力不变，根据牛顿第二定律
解得
小球从如图位置到绳第一次与A相碰，所用的时间为
绳与A碰后到第一次与B相碰，所用时间为
则
，
故A错误，B正确；
C．当时，细绳承受的拉力大小为
故C正确；
D．当绳子的拉力变成6.4N时，根据牛顿第二定律有
解得
两钉子间的距离为0.2m，所以绳子第一次与A碰撞后，绳子再次与钉子碰撞绳子的长度一次为0.8m、0.6m、0.4m、0.2m，所以当绳子拉断时，绳子的长度应为0.2m，可知绳子与A碰撞3次，与B碰撞2次，第三次到第五次的时间为
小球从开始运动到绳被拉断时间为
故D正确。
故选BCD。
16．（多选）如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，细线刚好拉直，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为r、2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳子的最大张力为
B．A与转盘的摩擦力先增大后减小
C．B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
【答案】CD
【详解】D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力，只有当B的摩擦力达到最大时绳子上才会出现拉力，故D正确；
BC．第一阶段，两物块在随转盘一起转动的过程中，仅由摩擦力提供向心力，方向指向各自做圆周运动的圆心。由题可知物块B做圆周运动的半径更大，由知物块B的摩擦力先达到最大静摩擦，此时A受到的静摩擦力为。
第二阶段，物块B在摩擦力达到最大的瞬间将要开始滑动，但与A用绳子连接，故此时绳子上产生张力，随着转盘角速度的增大，所需向心力也逐渐增大，而物块B所受摩擦力在达到最大后不变，绳子上的张力开始增大，B需要的向心力始终是A的2倍，由于，所以这个过程中A受到的摩擦力逐渐减小，直至为零。
第三阶段，当A受到的摩擦力减为零，而转速继续增大时，A受到的摩擦力方向将发生变化，背离圆心，且摩擦力逐渐增大，直至增大到最大静摩擦，之后继续增加转速，AB将发生滑动。
可知A与转盘的摩擦力先增大后减小再增大；B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力之后保持不变，故B错误，C正确；
A．当两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，绳子张力最大。分别对两物块有
根据牛顿第三定律始终有
解得
故A错误。
故选CD。
17．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h＝5 m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．(取g＝10 m/s2)
(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
(3)当圆盘的角速度为1.5 π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2 m，求容器的加速度a.
解析：(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，则每一滴水滴落到盘面上所用时间t＝eq \r(\f(2h,g))＝1 s.
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在1 s内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．
由ωt＝kπ得ω＝kπeq \r(\f(g,2h))＝kπ，其中k＝1,2,3，….
(3)第二滴水离O点的距离为x1＝eq \f(1,2)at2＋(at)t＝eq \f(3,2)a
第三滴水离O点的距离为x2＝eq \f(1,2)a(2t)2＋(a·2t)t＝4a
又Δθ＝ωt＝1.5π
即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上，所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝x2
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))2＋(4a)2＝22，解得a＝eq \f(4\r(73),73) m/s2.
答案：(1)1 s (2)kπ，其中k＝1,2,3，…
(3)eq \f(4\r(73),73) m/s2
18．如图1所示，水平圆盘上质量与的A、B两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起随圆盘绕竖直中心轴转动，转动角速度从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半径，。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。
（1）若先将轻绳去掉，将A、B两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出A、B相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将A、B两物块同时放到图所示位置（无轻绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在A、B两物块间加上轻绳，如1所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度为多大时，A受到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至时，B受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至时，AB物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求的大小？并将物块B受到的摩擦力与的分段函数关系图像画在图2中（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。
【答案】（1）；，B最先滑动；（2）；（3）；（4）；
【详解】（1）对物块A：当
即
A开始滑动。
对物块B：当
即
B开始滑动。
因为，所以当两物块同时随圆盘转动时物块B最先滑动。
（2）当B的角速度时绳上有拉力，且在该角速度范围内B受到的静摩擦力始终为最大静摩擦力。即
当时，对A有
对B有
联立解得
（3）当AB所受的静摩擦力均达到最大值后，若再增大，因A所需向心力大于B所需向心力，但绳上的拉力T相同，则B的静摩擦力将减小。
对A有
对B有
解得
（4）当角速度大于时，B受到的静摩擦力反向，即背离圆心，设当反向后的静摩擦力达到最大值时圆盘的角速度为
故对A有
对B有
联立解得
19．如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径的光滑圆弧轨道CDE相接于C，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD，DE对应的圆心角。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为。一质量为的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后物块滑上传送带EF。已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，已知传送带以v=12m/s的速度向上转动，且物块与传送带EF间的动摩擦因数，g 取 10m/s2，，。求：
（1）物块从A点飞出的速度大小和在A点受到的支持力大小（结果保留两位有效数字）；
（2）物块到达C点时的速度大小及对C点的压力大小；
（3）试通过计算判定物块能否被送到F端。
【答案】（1）8m/s；61N；（2）10m/s；208N；（3）见解析
【详解】（1）小球从A点到C点做平抛运动，竖直方向有
可得
在C点，有
解得
在A点，对物块根据牛顿第二定律得
解得
（2）物块到达C点时速度大小
在C点对物块，根据牛顿第二定律可得
代入数据解得
由牛顿第三定律知，物块对C点的压力大小；
（3）因物块的速度小于传送带速度，故物块受沿传送带向上的摩擦力，又
所以物块匀减速运动
当速度减为0时，由
可得发生的位移为
大于传送带的长度24m，故能到达F端。
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度的大小不变的圆周运动
线速度的大小不断变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小和方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高
点的临
界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
v临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥ eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)当v＜eq \r(gr)时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大