北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题原卷版docx、精品解析北京市师达中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB的长度为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3. 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．
【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算正确，符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，解题的关键是准确利用公式计算．
5. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6. 如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE=CO.则BE的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的性质得到OB=OC=BC=1，OB⊥OC，则OE=2，然后根据勾股定理计算BE的长．
【详解】∵正方形ABCD的边长为，
∴OB=OC=BC=×=1，OB⊥OC，
∵CE=OC，
∴OE=2，
在Rt△OBE中，BE=．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
7. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，．现对72进行如下操作：
．即对72只需进行3次操作后变为2．类似地：对121只需进行______次操作后变为2．（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴对121只需进行3次操作后变2．
故选：B．
8. 如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )
A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形
【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；；
④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有7个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 若式子有意义，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式的的被开方数大于等于0求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，正确掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．当两点关于y轴对称时，它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
11. 如图，在中，，则________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知，再利用两直线平行同旁内角互补可求出的度数．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是解答本题的关键．
12. 菱形对角线的长分别是6cm和8cm，则周长是_____cm，面积是_____cm2．
【答案】 ①. 20 ②. 24．
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，最后根据周长公式计算即可求解；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，∴菱形的边长为5（cm），∴菱形的周长＝5×4＝20（cm）；
面积8×6＝24（cm2）．
故答案为20，24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，注意掌握菱形的对角线互相垂直平分及菱形面积的特殊求法，难度一般．
13. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解：，
∴他输入的密码是2024；
故答案为：2024．
14. 如图，在正方形ABCD内，以AB边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．
【答案】45
【解析】
【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
又∵三角形ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．
15. 有一根长7cm的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，_______(填“能”或“不能”)放进去．
【答案】能
【解析】
【分析】根据此长方体木箱的对角线的长与木棒的长比较以确定能不能放入．
【详解】
解：此长方体木箱的对角线长为=5＞7，
∴木棒能放进去．
故答案为能．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．
16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，求的最小值．

【答案】
【解析】
【分析】在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，

是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19-25题每题5分，第26题7分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先化简各式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式计算，然后合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值和分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把x的值代入分母有理化计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知∶如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，O为AC的中点．

求作∶四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法∶①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小丁设计尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明∶∴点O为AC的中点，
∴AO=CO．
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据)．
【答案】（1）作图如图所示，见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据有一个角是直角平行四边形是矩形即可证明．
【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．

（2）理由：∵点O为AC的中点，
∴AO=CO
又∵DO=BO，
∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵∠ABC=90°，
∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
20. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD（如图所示）的周长，其中边 CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知 AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°．
小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度．
你同意小明的说法吗？若同意，请求出 CD 的长度；若不同意，请说明理由．
【答案】同意，13m
【解析】
【分析】直接利用等边三角形的判定方法得到△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：同意，理由如下：
连接 BD
∵AB=AD=5，∠A=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=5，∠ABD=60°
∵∠ABC=150°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°
在中，BD=5，BC=12
∴
答：CD的长度为13米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题的关键．
21. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
【答案】(1)见解析；(2) OF =.
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．
【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF=AC=.
【点睛】本题考查了矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
22. 问题背景：
在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出的面积为______；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，则它的面积是______；
探索创新：
（3）若三边的长分别为，， （m>0，n>0，且m≠n，则这三角形的面积是_____．（用含，的式子表示）
【答案】（1）3.5；（2）图见解析，；（3）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出是解题的关键．
（1）利用恰好能覆盖的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可；
（3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可．
【详解】解：（1），
故答案为：3.5；
（2）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为2和1的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是2的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是4和1的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，

，
故答案为：3；
（3）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，可以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，

∴．
故答案为：．
23. 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
【答案】（1）证明见解析；(2) ∠MPN＝120°.
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接CD、AE,由△ABD和△BCE是等边三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，易证△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位线的性质可证PM＝PN；
（2）如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易证四边形PFHG为平行四边形，故∠MPN＝120°.
试题解析：(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM=CD，PN=AE，∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.
易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.
24. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
（1）的0值为____________，轴值为____________；
（2）若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等；
（3）的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________．
【答案】24. 2和，0 ；
25. ；
26. 0，9．
【解析】
【分析】（1）把进行因式分解，即可求解；
（2）根据的0值只有一个，则，即可求解；
（3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解．
【小问1详解】
解：，
或时，，
的0值为和，
又，
的轴值为0，
故答案为：2和，0 ；
【小问2详解】
解：的0值只有一个，
，
即的0值为，
又，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
的0值为：和，
，
；
当的0值与轴值相等，
的0值只有一个，
，
即时，
此时的0值为，轴值为：，
故答案为：0，9．
【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算．
25. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：；
（2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形．
②猜想的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明；
（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想．
【小问1详解】
证明，，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形．
，
，
则；
【小问2详解】
选择图2：
①补全图形如图所示：
②猜想．
如图，过点作于点，连接，
则，
，，
，，
，
为线段中点，
，
．
由（1）可知是等边三角形，
，，
，
在利中，
，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．
26. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点．
（1）如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________；
（2）若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________；
（3）在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________．
【答案】（1）；
（2）或；或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，，先求出点Q的坐标，证明，得出，即，得出，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出m的值和点P的坐标即可；
（3）连接，证明为的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在上，求出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴直线l为，
∵P与Q关系直线l对称，
∴点Q的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：；．
【小问2详解】
解：如图，当点M在点上方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
如图，当点M在点下方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
综上分析可知，或，点P的坐标为：或．
故答案为：或；或．
【小问3详解】
解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴平分，
∴点N一定在上，
∴N点横坐标n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．
账号：shu xue le yuan
密码