精品解析：上海市第三女子中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市第三女子中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域是_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用对数函数定义域得到答案.
【详解】函数的定义域满足：
故答案为：
【点睛】本题考查了对数函数定义域，属于简单题.
2. 函数的零点是______．
【答案】
【解析】
【分析】令求解.
【详解】令，
解得，
所以的零点是，
故答案为：
3. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系进行求解.
【详解】因为及，
所以，
因为，所以.故答案为：.
4. 已知函数，则的值等于______．
【答案】2
【解析】
【分析】由分段函数可得，从而可得出答案.
【详解】解：由，
得.
故答案为：2.
5. 函数的值域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据的范围可直接求出函数的值域．
【详解】解： ，
，
故答案为
【点睛】本题考查分式函数的值域，是基础题．
6. 函数()，若，则值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用列方程，并化简，然后化简表达式，进而计算出它的值.
【详解】依题意，所以，而.【点睛】本小题主要考查求函数值的计算，考查运算求解能力，考查观察能力，属于基础题.
7. 已知实数且，不论取何值，函数的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数过定点问题求解.
【详解】令，
得 ，此时 ，
所以函数的图像恒过的定点坐标为，
故答案为：
8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案.
【详解】解：当时，则，
则，
又函数是定义在上的奇函数，
所以当时，.
故答案为：.
9. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，利用诱导公式和基本关系式的商数关系求解.
【详解】因为，所以，
，
，
，
，
故答案为：
10. 若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先分析每一段函数的单调性，再比较分段点处函数值的大小关系进行求解.
【详解】因为函数是上的严格减函数，
所以，即，解得.
故答案为：.
11. 已知函数，其中，若函数的定义域和值域均为，则实数的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次函数的对称轴与区间，再结合一元二次函数的单调性即可求出值域，即可得到方程组，解得即可．
【详解】解：，对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递减，
在上单调递减，且，
即，解得
故答案为：
12. 已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任意（其中为函数的定义域），均有成立．若函数，属于集合，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，求出的最小值，进而求出的取值范围.
【详解】由题意得：，，化简得：，因为，所以，，，故，解得：.
故答案为：
二、选择题（每小题3分，共12分）
13. 是等式成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】当时，成立.
当时，或
所以由不能得出成立所以是等式成立的充分不必要条件
故选：A
14. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等函数得定义逐一分析判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，，与对应关系不同，所以两函数不表示同一函数；
对于B，两函数的定义域都是R，且对应关系相同，所以两函数表示同一函数；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，故不表示同一函数；
对于D，函数的定义域是R，函数的定义域为，故不表示同一函数.
故选：B
15. 函数的图象（ ）
A. 关于原点对称B. 关于直线对称
C. 关于轴对称D. 关于轴对称
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的定义域,然后再判定函数的奇偶性.
【详解】函数的定义域为解得,其定义域关于原点对称.又,故函数为奇函数,其图象关于原点对称.
故选
【点睛】本题考查了函数的对称性,解答题目的出发点还是要研究函数的奇偶性,奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于轴对称,需要掌握函数奇偶性的判定方法.
16. 在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当a＞1时，直线y=ax+1的斜率大于1，函数y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是增函数，选项C满足条件．
当1＞a＞0时，直线y=ax+1的斜率大于0小于1，且过，函数y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是减函数，没有选项满足条件．
故选C．
三、解答题（共52分）
17. 设常数且，若函数在区间的最大值为1，最小值为0，求实数的值．
【答案】
【解析】
【分析】分和讨论函数的单调性，根据函数的单调性结合函数在区间上的最值即可得出答案.
【详解】解：令，在上递增，
当时，函数为减函数，
则函数在区间上递减，则有，无解；
当时，函数为增函数，
则函数在区间上递增，
则有，解得，
综上所述，.
18. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
（1）求的值；
（2）求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.
【小问1详解】
解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
【小问2详解】
解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，所以满足的实数的取值范围为.
19. 已知函数是上的奇函数，．
（1）求的值．
（2）用定义证明：函数是上的严格增函数．
【答案】（1）1 （2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据是上的奇函数，由成立求解；
（2）任取，且，判断的符号即可.
【小问1详解】
解：因为函数是上的奇函数，
所以，即，
所以，
解得；
【小问2详解】
由（1）知：，
任取，且，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，所以函数是上的严格增函数.
20. 某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.
(1)欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围;
(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.
【答案】（1）;（2）=,(其中); 最小值为升.
【解析】
【分析】
(1)令,求出解集,结合题意得出的取值范围;
(2)写出关于的函数,求出函数的最小值即可.
【详解】（1）由题意,令,
化简得,解得;
又因为,
所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;
（2）设该汽车行驶公里的油耗为;
则=,(其中);
由,知,
所以=时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值，属于基础题.
21. 已知函数（，为实数），．
（1）若函数的最小值是，求，的值；
（2）在（1）条件下，关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，为偶函数，实数，满足，，定义函数，试判断值的正负，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）的值为正数
【解析】
【分析】（1）由已知，且，解二者联立的方程求出，的值即可得到函数的解析式．
（2）依题意可得在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最大值，即可得解；
（3）是偶函数，可得，求得，由，，可得、异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可．
【小问1详解】
解： 函数的最小值是，
且，且，解得，，
函数的解析式是；
【小问2详解】
解：由（1）可得，因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以；
【小问3详解】
解：的值为正数．是偶函数，即函数关于轴对称，
，
，
由知、异号，不妨设，则，又由得，
又
所以，
由得，又，得，
的值为正数．