精品解析：上海市虹口区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市虹口区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了01， 已知集合，，则______．， 设， 已知，则________， 不等式的解集为______．等内容，欢迎下载使用。

一．填空题
1. 已知集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件求出集合B，再利用并集的定义直接计算作答.
【详解】解方程得：或，则，而，
所以.
故答案为：
2. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.
【详解】依题意，不等式化为：，而函数在R上单调递增，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
3. 已知a、b是方程的两个根，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.
【详解】由韦达定理可得，
故答案为：4.
4. 已知，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件结合均值不等式即可计算作答.
【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4.
故答案为：4
5. 设：；：．若是的充分条件，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得所对集合包含于所对集合，再利用集合的包含关系列式作答.
【详解】令所对集合为：，所对集合为：，
因是的充分条件，则必有，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
6. 已知，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先利用指数和对数互化得到，，再利用换地公式即可得到答案。
【详解】由可知，，所以.
故答案为：
7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.
【答案】[10，30]
【解析】
【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.
【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，
所以，又矩形的面积，所以，解得，
所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].
故答案为：[10，30].
8. 若存在实数x满足，则实数a的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】分类探讨函数的取值，求出最小值，再解不等式即可作答.
【详解】令，当时，，当时，，当时，，
即，，依题意，，即，解得，，
所以实数a的最小值为.
故答案为：9. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】分，，讨论去绝对值解不等式即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，解得
当时，，解得，
综合得不等式的解集为
故答案为：.
10. 若函数的反函数为，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据原函数的单调性可得反函数的单调性，再根据将不等式转化为，再利用单调性解不等式即可.
【详解】观察可得在上单调递增，值域为R
则其反函数在R上也为单调递增函数，
又，则，
，即，
即关于x的不等式的解集为
故答案为：11. 已知函数（且）在的最大值与最小值之差等于，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】若，则函数在上为增函数，则，解得；
若，则函数在上为减函数，则，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
12. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】画出的图像，分，，，，讨论观察图像可得答案.
【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点
当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；
当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；
当时，函数零点为-2，0，有2个零点；
当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；
综上：实数a的取值范围是
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.
13. 在实数运算中定义新运算“”：，则函数的零点个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】化简函数解析式，利用代数法可求得原函数的零点个数.
【详解】当时，即，可得，由，可得，合乎题意；
当时，即，可得或，由，可得.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
二．选择题
14. 设a、b都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a、b都是实数，若且，由不等式性质得：且成立，
若且成立，取，而且不成立，
所以“且”是“且”的充分非必要条件.
故选：A
15. 函数的图象关于（ ）对称
A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性即可得函数图象的对称性.
【详解】函数的定义域为R，
又，
所以为偶函数，
函数的图象关于y轴对称
故选：B.
16. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算的正负，然后根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为，，
则，又是增函数
根据零点存在性定理，函数的零点所在的区间为
故选：C.
17. 已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答.
【详解】当时，取，则，即命题①不正确；
当时，函数，在都是减函数，
于是得，即命题②正确；
当时，取，则，，即不成立，命题③不正确，
所以真命题个数是1.
故选：C
18. 设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件求出和的解集，进而可得的解集.
【详解】的解集为，
则的解集为R.
的解集为，
则的解集为，
转化为
所以不等式的解集为.
故选：B.19. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】解：设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.
故选:B.
【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
20. 已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件确定函数在上单调递减，再结合分段函数在R上单调的性质列式计算作答.
【详解】因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，
并且有，于是得，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；
二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
三．解答题
21. 设全集为，已知，．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)解分式不等式可得集合A，并求出，由得集合B，再利用交集的定义直接计算作答.
(2)由可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.
【小问1详解】
解不等式：，即，解得：或，则或，
因全集为，于是得，当时，，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，因，因此有：，
于是得，解得，
所以实数a的取值范围是：.
22. 设函数，且；
（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
（2）当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，； （2）关于x的方程的解的个数见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件结合函数和，借助图象变换作出
的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间.
(2)把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答.
【小问1详解】
当时，，此时，的图像是射线在x轴上方
的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
当时，，此时，的图像是先把反比例函数在y
轴左侧部分图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得的图象，
然后将所得图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.
【小问2详解】
依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.
23. 设函数，且．
（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
（2）当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，；
（2）关于x的方程的解的个数见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件结合二次函数，借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间.
(2)把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答.
【小问1详解】
函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是
二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.
【小问2详解】
依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，
当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.
24. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
（1）求k的值，并写出函数的表达式；
（2）求y最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．
【答案】（1），()；
（2）38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.
【解析】
【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k值，进而写出函数的表达式.
(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x值.
【小问1详解】
依题意，当时，，解得，
于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，
所以，函数的表达式为，.【小问2详解】
由(1)知，，，
当且仅当，即时取“=”，
所以y的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米.
25. 已知函数，．
（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若对满足的实数p、q，都有，求实数m的取值范围．
【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用单调性和奇偶性的概念进行判断即可；
（2）根据奇偶性和单调性将问题转化为在上有解，然后通过换元令，，又转化为，利用对勾函数的单调性求最值即可.
【小问1详解】
由已知
函数的定义域为，
又
函数为奇函数.
函数在上单调递减
证明：任取，
，
，，
又，，
，即
所以函数在上单调递减；
【小问2详解】
且为奇函数
，又为单调函数，
，
在上有解，
即
在上有解，
令，，
在上有解
在上有解，
令，，
在上单调递减，
26. 已知函数，．（1）判断函数奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若对任意都成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用单调性和奇偶性的概念进行判断即可；
（2）将问题转化为，令，利用不等式可得，进而可得实数m的取值范围．
【小问1详解】
由已知
函数的定义域为，
又
函数为奇函数.
函数在上单调递减
证明：任取，
，
，，
又，，
，即所以函数在上单调递减；
小问2详解】
由已知得对任意都成立
变形得对任意都成立，
令，，
则
当且仅当，即时等号成立，
27. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的最大值；
（3）设（，，），若函数的值域为，求实数t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数得，由，可求出，从而可求得函数的值域，
（2）等式在时恒成立，转化为在时恒成立，令，可得在上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k的最大值，（3）由题意得，从而可得是方程的两个不相等的正根，令，则有，从而可求出实数t的取值范围
【小问1详解】
由题意得，
因为，所以，则，
所以函数的值域为
【小问2详解】
因为，所以不等式可化为，
所以，令，
则在上单调递减，
所以，所以，
所以实数取值范围为，
所以实数k的最大值为
小问3详解】
由题意得，
因为，所以在上单调递增，
所以，
即，
所以是方程，即的两个不相等的正根，令，其图象开口向上，对称轴为直线，且有两个不相等的正零点，
所以，即，解得
所以实数t的取值范围为
28. 若函数满足，则称函数为“倒函数”．
（1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
（2）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是倒函数；
（3）若为倒函数，求实数m、n的值；判定函数的单调性，并说明理由．
【答案】（1）函数和都不是“倒函数”；
（2）证明见解析； （3），函数是R上的增函数，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答.
(2)探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答.
(3)利用给定定义直接计算可得m、n的值，判断单调性，并用单调性定义直接证明作答.
【小问1详解】
依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称，
函数的定义域为，显然-1在定义域内，而1不在定义域内，即不是“倒函数”，
函数定义域为R，而，即不是“倒函数”，
所以函数和都不是“倒函数”.
【小问2详解】
因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称，依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称，
因此，，
所以是倒函数.
【小问3详解】
显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数，
于是得，则，又，解得，
所以实数m、n的值分别为；
函数是R上的增函数，
，，
则，
显然，，即，
而，即，于是有，即，
所以函数是R上的增函数.
【点睛】方法点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数
f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x)是定义域上的恒等式．